考点04 整式与分式—2022年中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点04 整式与分式 课标对考点的要求 对整式与分式问题,中考命题需要满足下列要求: (1)了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。 (2)理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则,能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)。 (3)能推导乘法公式:(a+b)( a- b) = a2- b2; (a±b)2 = a 2±2ab + b 2,了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算。 (4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)。 (5)了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 重要问题解题思维方法总结 一、科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法. 二、幂的运算 1.幂的定义 乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂; 2.基本运算 (1)同底数幂的乘法法则: ( 都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 (2)幂的乘方法则: ( 都是正整数) 幂的乘方,底数不变,指数相乘。 幂的乘方法则可以逆用:即 (3)积的乘方法则: ( 是正整数)。 积的乘方,等于各因数乘方的积。 (4)同底数幂的除法法则: ( 都是正整数,且 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 (5)零指数:任何不等于零的数的零次方等于1。即 (a≠0) (6)负整数指数:任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数)。 三、整式 1.单项式:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做单项式的次数,数字因数叫做单项式的系数. 注: 单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如,这种表示就是错误的,应写成 ; 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 2.多项式:由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数,其中不含字母的项叫做常数项. 3.整式:单项式和多项式统称为整式. 4.同类项:多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项. 5.整式的加减:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 6.幂的运算:am·an=am+n;(am)n=amn;(ab)n=anbn;am÷an= . 7.整式的乘法:(1)单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mc. (3)多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 8.乘法公式:(1)平方差公式: . (2)完全平方公式: . 9.整式的除法:(1)单项式除以单项式,把系数、同底数的幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式含有的字母,则连同它的指数作为商的因式.(2)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加. 四、因式分解 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 1.提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.比如:am+an=a(m+n) 2.运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. (1)平方差公式 两数平方差,等于这两数的和乘以这两数的差,字母表达式: (2)完全平方公式 两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方. 字母表达式: (3)立方和与立方差公式 两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和). a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3﹣b3=(a-b)(a2+ab+b2) 3.十字相乘法分解因式:利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. (1)对于二次三项式,若存在 ,则 (2)首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数