专题检测(16) 定点、定值与存在性问题(Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(十六)　定点、定值与存在性问题 1．(2021·贵州贵阳模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且＝－16，求证：直线AB恒过定点． · (1)解：由题意，动圆P与直线l：y＝－1相切，且与定圆M：x2＋(y－2)2＝1外切，所以动点P到圆M的圆心M(0，2)的距离与到直线y＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0，2)为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线． 故所求P的轨迹E的方程为x2＝8y. (2)证明：由题意可知直线AB斜率一定存在， 故设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0， Δ＝64k2＋32b＞0即2k2＋b＞0， 所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b. 又,64)＝－8b＋b2＝－16，x＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋· 所以b＝4，则直线AB恒过定点(0, 4). 2．(2021·甘肃兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：＝1，若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值． ＝1，椭圆C2：x2＋－ 证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝2，|OM|＝.，则O到直线MN的距离为 当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx， 则直线OM的方程为y＝－x． 由得 所以|ON|2＝.，同理|OM|2＝ 设O到直线MN的距离为d， 因为在Rt△MON中， (|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， 所以.，即d＝＝＝＋＝ 综上，O到直线MN的距离是定值． 3．已知椭圆C：，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2. ＝1(a＞b＞0)的右焦点F(＋ (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不经过点B(0，1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)由题意得，c＝＋y2＝1.＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为， (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0， x1＋x2＝.，x1x2＝ ∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴＝0.· ∵＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)· ＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0， ∴(k2＋1)＋(m－1)2＝0，＋k(m－1) 整理，得5m2－2m－3＝0， 解得m＝－或m＝1(舍去). ∴直线l的方程为y＝kx－. 易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l过定点，且该定点的坐标为. 4．(2021·安徽淮北三模)如图，已知椭圆E：，短轴长为4. ＝1(a＞b＞0)的离心率为＋ (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点G(4, 0)作斜率不为零的直线交椭圆E于M，N两点．设直线FM，FN的斜率分别为k1，k2，试判断k1＋k2是否为定值．若是定值，求出该值，若不是定值，请说明理由． 解：(1)依题意可得解得 因此，椭圆E的方程为＝1.＋ (2)若直线MN与x轴垂直，则该直线与椭圆E无交点，不合乎题意， 所以直线MN的斜率存在， 设直线MN的方程为y＝k(x－4)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立椭圆E与直线MN的方程 得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－8＝0， Δ＝256k4－4(2k2＋1)(32k2－8)＝32(1－2k2)＞0，可得k2＜， 所以x1＋x2＝，，x1x2＝ 故k1＋k2＝＝＋＝＋ ＝＝0.＝ 所以k1＋k2是定值0. 5．(2021·河南郑州二模)已知椭圆C：，且过点A(2，1). ＝1(a＞b＞0)的离心率为＋ (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点． (1)解：由题意得：解得 ∴椭圆C的方程为＝1.＋ (2)证明：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∵AM⊥AN， ∴＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，· 整理可得：y1y2－(y1＋y2)＋1＝－x1x2＋2(x1＋x2)－4.① 当直线MN斜率k不存在时，显然AM⊥AN不成立， 则可设MN：y＝kx＋m，联立得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 由Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＞0得：6k2－m2＋3＞0， 则x1＋x2＝－，，x1x