专题检测(20) 导数与函数单调性、极值与最值的简单综合(Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(二十)　导数与函数单调性、极值与最值的简单综合 1．(2021·四川内江一模)已知函数f(x)＝a ln x－bx2，a，b∈R，若f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在上的极值． 解：(1)由题意，函数f(x)＝a ln x－bx2，x∈(0，＋∞)，可得f′(x)＝－2bx， 因为函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， 所以.解得a＝1，b＝即 (2)由(1)得f(x)＝ln x－，－x＝x2，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ 令f′(x)＞0，得0＜x＜1，令f′(x)＜0，得x＞1. 所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f(x)在，无极小值．上的极大值为f(1)＝－ 2．(2021·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝x3－ax＋b在x＝1处的切线方程为y＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值与最小值之和． 解：(1)由已知得切点为(1，0)，且f′(x)＝3x2－a， ∴解得a＝3，b＝2. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3， 当1＜x≤2时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增； 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减． 所以，f(x)min＝f(1)＝0， 又f(－1)＝4，f(2)＝4，∴f(x)max＝4. 因此，函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值与最小值之和为4. 3．(2021·甘肃金昌一模)设函数f(x)＝axex＋x2＋2x＋1. (1)当a＝1时，求函数f(x)在[－2，1]上的最值； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，求实数a的最大值． 解：(1)因为a＝1，所以f′(x)＝ex(x＋1)＋2(x＋1)＝(x＋1)(2＋ex). 当x∈(－2，－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 则f(x)在[－2，1]上的最小值为f(－1)＝－， 又f(1)＝e＋4，f(－2)＝－2e－2＋1，f(－2)＜f(1)， 则函数f(x)在[－2，1]上的最大值为e＋4， 综上：f(x)在[－2，1]上的最小值为－，最大值为e＋4. (2)由已知得f′(x)＝aex＋axex＋2x＋2＝(x＋1)(aex＋2)≤0在[0，＋∞)上恒成立， 因为x＋1＞0，所以aex＋2≤0在[0，＋∞)上恒成立，即a≤－在[0，＋∞)上恒成立， 因为函数y＝－在[0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝0时，函数y＝－取得最小值为－2，所以a≤－2， 故实数a的最大值为－2. 4．(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围． 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)， 又f′(x)＝， 因为a>0，x>0，故2ax＋3>0， 当0<x<时，f′(x)>0；时，f′(x)<0；当x> 所以f(x)的减区间为.，增区间为 (2)因为f(1)＝a2＋a＋1>0且y＝f(x)的图象与x轴没有公共点， 所以y＝f(x)的图象在x轴的上方， 由(1)中函数的单调性可得f(x)min＝f＝3＋3ln a，＝3－3ln 所以3＋3ln a>0，即a>， 所以a的取值范围为(，＋∞). 5．(2021·陕西宝鸡二模)已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； (2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0. (1)解：f′(x)＝，＝ 当a＝0时，f′(1)＝，，f(1)＝ 则f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y＝x. (2)证明：令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－a， ①当a＝－2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减，∴函数f(x)无极值； ②当a＞－2时，令f′(x)>0，解得－a＜x＜2，令f′(x)<0，解得x<－a或x>2， ∴函数f(x)在(－a，2)上单调递增， 在(－∞，－a)，(2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)极大值＝f(2)＝＞0； ③当a＜－2时，令f′(x)>0，解得2＜x＜－a，令f′(x)<0，解得x<2或x>－a， ∴函数f(x)在(2，－a)上单调递增， 在(－∞，2)，(－a，＋∞)上单调递减， ∴f(x)极大值＝f(－a)＝－aea＞0， 综上，函数f(x)的极大值恒大于0. 6．(2021·宁夏银川二模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋2(a，b∈R)在x＝－1与x＝3处均取得极值． (1)求实数a，b的值； (2)若函数f(x)在区