卷08 基本不等式与线性规划-【小题小卷】冲刺2022年高考数学小题限时集训(全国专用)

专题08基本不等式与线性规划 难度:★★★★☆ 建议用时: 30分钟 正确率 : /30 一、单选题 1.(2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末(文))已知,均为正数,若,则当取得最小值时,的值为( ) A.16 B.4 C.24 D.12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据基本不等式“1”的活用,即可求得取得最小值时的x,y的值,即可得答案. 【详解】 因为, 所以, 当且仅当,即时取等号,又因为,所以,, 所以. 故选:A. 2.(2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习(文))已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,且,则z的最大值为( ) A. B. C.1 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域,由直线斜率的几何意义,数形结合判断得即为z的最大值,求解点的坐标,并代入求出. 【详解】 作出不等式组表示的平面区域(如图所示), 由题可知,所以可变形为,从而z表示平面区域内的点与点连线的斜率,数形结合可知最大, 由,得,所以,所以. 故选:B. 3.(2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习(文))已知,,且,则的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.16 【答案】B 【解析】 【分析】 转化,结合均值不等式,即得解 【详解】 因为,所以, 则, 当且仅当,即,时,等号成立. 故选:B 4.若实数,满足,则的最小值为( ) A.-2 B.0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据,画出图形,正方形区域中的点与的距离的平方,数形结合可得的最小值. 【详解】 ,其图形正方形,(如图) ; 即, 表示正方形区域中的点与的距离的平方, 又直线的方程为;显然当圆C与直线AB相切时最小, 又圆心到直线的距离, ∴,所以; 故选:D. 【点睛】 本题主要考查利用几何意义求表达式的最值问题,利用了点到直线的距离公式是解决本题的关键. 5.(2022·全国·模拟预测)已知,,则a的最大值为( ) A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题得,,再利用基本不等式和解一元二次不等式求解. 【详解】 解:可知,,则,, 因为, 所以,解得, 即a的最大值为. 故选:D 6.(2021·江西·九江一中高二阶段练习(理))已知二次函数,且,若不等式无解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定条件,列出不等式组,令,可得,画出此不等式组表示的平面区域,分析的几何意义即可计算作答 【详解】 在二次函数中,因不等式无解,则,又由, 设,,则,即, 不等式组表示的平面区域如图中阴影区域,其中, 而,则表示上述阴影区域内的点与确定直线的斜率, 又,,于是得或,即或, 所以的取值范围是:. 故选:D 7.(2021·全国·高三专题练习(理))已知函数,若存在两相异实数使,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题设可得,又即为方程两个不等的实根,即有,结合、得,即可求其最小值. 【详解】 由题意知:当有, ∵知:是两个不等的实根. ∴,而, ∵,即, ∴,令, 则, ∴当时,的最小值为. 故选:B 【点睛】 关键点点睛:由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,结合韦达定理以及,应用二次函数的性质求最值即可. 8.(2022·全国·高三专题练习)已知函数在区间上有零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设为函数的两个零点,其中,,由根与系数的关系得,.表示则,再运用基本不等式可得,令,求导,得出在所给区间内导函数的正负,原函数的单调性,可得选项. 【详解】 不妨设为函数的两个零点,其中,,则,. 则, 由,,所以, 可令 , 当,恒成立,所以. 则的最大值为,此时,, 所以,时,,.所以的取值范围是. 故选:B. 【点睛】 本题考查函数的零点,二次函数的根与系数的关系,基本不等式的运用,以及构造函数,运用导函数研究函数的最值,属于难题. 二、填空题 9.(2022·天津·模拟预测)若,,则的最小值为_ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】 由题意可知,,再根据基本不等式“1”的用法,即可求出结果. 【详解】 因为,, 所以,, 所以. 当且仅当时,取得最小值. 故答案为:. 10.(2021·上海闵行·一模)已知若对任意,恒成立,则实数a的取值范围为_. 【答案】. 【解析】 【分析】 不等式可以转化为,先考虑时,当时,考虑和两种情况对根式不等式进行讨论,最后求出答案. 【详解】 由题意,. 当时,,; 当时, (1)若,则,设,于是,所以. (2)若,首先,而函数在上单调递减,则,而函数在上单调递减,则,则,设,于是, 所以. 综上: