专题11 与极值点偏移有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题11 与极值点偏移有关的恒成立问题 一、考情分析 极值点偏移问题是近年来高考中出现的一类新的题型,该类问题难度较大,常以压轴题形式出现.由于此类问题背景新颖,教材中又没有涉及,故不少同学不知从何处下手,本专题给出此类问题的常用解法,共同学们参考. 二、解题秘籍 (一) 通过对称化构造新函数破解极值点偏移问题 1.已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移;若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”. 2. 用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步: ①求导,获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围(数形结合); ②构造辅助函数(对结论,构造;对结论,构造),求导,限定范围(或的范围),判定符号,获得不等式; ③代入(或),利用及的单调性证明最终结论. 【例1】(2022届皖江名校高三第四次联考)已知函数f(x)=x-alnx (1)求函数f(x)的极值点; (2)若方程有2个不等的实根,证明:. 【解析】 (1)f(x)的定义域是,求导得, 当,,函数f(x)没有极值点; 当时,令,得 在(0,a)上,,f(x)单调递减,在上,,f(x)单调递增, ∴函数f(x)有极小值点,无极大值点; (2)由(1)知方程有2个不等的实根时,f(x)在定义域上不单调,一定有,在(0,a)上f(x)单调递减,在上f(x)单调递增,不妨设, 令, ∵, ∴, 由得,∴, ∴g(x)在(0,a)上单调递减,∴, 即, 结合题设有, ∵,而f(x)在上单调递增, ∴,即. (二) 含参函数问题可考虑先消去参数 1.含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到:想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数. 2.由于可导函数的极值点是的零点,也是方程的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决. 【例2】已知,.若有两个极值点,,且,求证: 【思路】欲证,需证. 若有两个极值点,,即函数有两个零点.又,所以,,是方程的两个不同实根. 于是,有,解得. 另一方面,由,得, 从而可得,. 于是,. 又,设,则.因此,,. 要证,即证:,.即当时,有. 构造函数,,利用为上的增函数求解. 【例3】(2022届山东省临沂市高三下学期一模)已知函数. (1)若,讨论的单调性; (2)若,是函数的两个不同的零点,证明:. 【解析】 (1)的定义域为,, 当时,, 令,则, 当时,,当时,, 所以在上递减,在上递增, (2)因为,是函数的两个不同的零点, 所以,, 显然,则有 ,, 所以, 不妨令,设, 所以, 所以要证, 只要证,即, 令(),则, 所以在上递增, 所以,所以, 因为,, 所以 要证,只要证,即, 因为,所以只要证, 即,即, 令,则, 所以在上递减, 所以,所以, 综上, (三) 对数平均不等式 1.两个正数和的对数平均定义: 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: (此式记为对数平均不等式) 取等条件:当且仅当时,等号成立. 2. 根据对数平均不等式求解的步骤是: (1)通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出; (2)通过等式两边同除以构建对数平均数; (3)利用对数平均不等式将转化为后再证明(或). 两种方法各有优劣,适用的题型也略有差异. 【例4】设函数其图象与轴交于两点,且. (1)求实数的取值范围; (2)证明:为函数的导函数); 【分析】(1),,当时,在R上恒成立,不合题意 当时, 当,即时,至多有一个零点,不合题意,故舍去; 当,即时,由,且在内单调递减,故在有且只有一个零点;由 令,则,故 所以,即在有且只有一个零点. (2)由(1)知,在内递减,在内递增,且 所以,因为, ,即,所以 所以,要证:,只须证,即 故,, 所以,所以 因为,所以,而 所以成立,所以 三、跟踪检测 1.(2022届吉林省松原市高三上学期调研)已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若函数存在两个不同的零点,,证明:. 2.(2022届高三数学新高考信息检测卷)已知函数有两个极值点,. (1)求实数的范围; (2)求证:. 3.(2022届广东省深圳市高三下学期一模)已知函数(). (1)求函数的单调区间; (2)若函数有两个零点,. (i)求实数a的取值范围; (ii)求证:. 4.(2022届辽宁省丹东市五校高三上学期联考)已知,, (1)若恒成立,求的最大值 (2)若,是的两个零点,且求证: 5.(2022届河南省许昌市高三下学期二模