专题10 与切线有关的恒成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题10 与切线有关的恒成立问题 一、考情分析 与切线有关的恒成立问题,包括根据恒成立求参数范围与证明不等式,前者通常把问题转化为直线与曲线的位置关系,再利用切线找出临界点,后者常利用切线型不等式进行放缩. 二、解题秘籍 (一) 借组曲线的切线求参数范围 若不等式恒成立可以转化为恒成立,则可以根据直线与的图象相切找出临界点. 【例1】(2022届陕西省榆林市高三上学期模拟)已知函数,若关于x的不等式恒成立,则k的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知函数的定义域为,从而等价于, 即转化为函数的图象恒在函数的图象上方, 结合图象可知,当直线与曲线相切时,k取得最小值. 设直线与曲线相切时,切点为. 因为,所以,则,整理得. 设,则.由,得;由,得. 则在上单调递减,在上单调递增, 从而. 当时,所以,当时,, 则方程有唯一解,即,从而,故.故选C 【例2】对任意,都存在,使得,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先求函数的值域,将原问题转化为方程至少有两个实数根,利用切线的性质考查临界条件可得实数的取值范围. 【解析】令,则, 据此可得函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 注意到,故函数的值域为. 则原问题等价于方程至少有两个实数根, 即至少有两个实数根, 考查临界情况,当时,直线与指数函数相切, 由可得,则切点坐标为,切线斜率, 切线方程为:,切线过点, 故,很明显方程的根为, 此时切线的斜率. 据此可得实数的取值范围是.故选A. (二) 证明不等式时利用切线型不等式放缩 是常见的切线型不等式,高考常以这些不等式为背景命题,掌握这些不等式可提高解题能力. 【例3】(2022届四川省南充高三上学期月考)不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由不等式对任意恒成立,此时 , 可得 恒成立, 令,从而问题变为求函数的最小值或范围问题; 令 ,则, 当 时,,当时,, 故,即, 所以, ,当且仅当 时取等号, 令,则, 当 时,,当时,, 故 ,且当时,也会取到正值, 即在 时有根,即 等号成立, 所以 , 则,故 ,故选C 【例4】已知函数. (1)当时,求的单调区间与极值; (2)当时,证明:. 【解析】 (1)时,,, 注意到与都是增函数,于是在上递增, 又,故时,;故时,, 所以在上单调递减,在上单调递增, 当时,取得极小值1,无极大值 (2)先证不等式与, 设,则, 可得在上单调递减,在上单调递增, ,即; 设,则, 可得在上单调递增,在上单调递减, ,即. 于是,当时,, 注意到以上三个不等号的取等条件分别为:、、,它们无法同时取等,所以,当时,,即. 【例5】已知函数. (1)若函数为增函数,求实数的取值范围; (2)求证:当时,. 【解析】 (1)因为,所以, 由函数为增函数,则恒成立, 即在R上恒成立, , 即实数的取值范围是 (2)证明:由(1)知当时,为增函数, 当时,, 要证当时,,只需证当时,, 即证在上恒成立, 设,则,令解得, 在上单调递减,在上单调递增, , 成立,故当时,. 三、跟踪检测 1.不等式,恒成立,则的最小值为( ) A. B. C. D. 2.(2022届安徽省淮南高三上学期第三次月考)若,,且,则( ) A. B. C. D. 3.(2022届江苏省扬州中学高三下学期开学检测)已知实数a,b,c满足(其中e为自然对数的底数),则的最小值是_. 4.(2022届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考)已知函数. (1)若,求的值域; (2)若,求实数的取值集合. 5.已知函数,其中为实常数. (1)若函数定义域内恒成立,求的取值范围; (2)证明:当时,; (3)求证:. 6.已知关于的不等式对于任意恒成立,求实数的取值范围 7.(2022届华大新联盟高三上学期1月教学质量测评)已知函数. (1)若,求函数的单调区间; (2)若,求证:.参考数据:. 8.已知函数为常数,是自然对数的底数),曲线在点,处的切线与轴平行. (1)求的值; (2)求的单调区间; (3)设,其中为的导函数.证明:对任意,. 9.已知函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求a,b的值; (2)证明:. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学科网(北京)股份有限公司 $专题10 与切线有关的恒成立问题 一、考情分析 与切线有关的恒成立问题，包括根据恒成立求参数范围与证明不等式，前者通常把问题转化为直线与曲线的位置关系，再利用切线找出临界点，后者常利用切线型不等式进行放缩． 二、解题秘籍 (一) 借组曲线的切线求参数范围 若不等式恒成立可以转化为恒成立，