专题12 与双变量有关的恒成立与能成立问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题12 与双变量有关的恒成立与能成立问题 一、考情分析 函数背景下的双变量问题,一直是高考的热点与难点,求解基本方法是利用相关知识把问题转化为一个变量的函数问题求解. 二、解题秘籍 (一) 与独立双变量有关的不等式恒成立问题,化为两边同函数形式 此类问题一般是根据不等式两边式子结构构造同一个函数,然后利用函数单调性求解. 【例1】(2022届江苏省苏南三校高三2月阶段调研)若存在两个不相等的正实数x,y,使得成立,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因,令, 则存在两个不相等的正实数x,y,使得,即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点,,,而,当时,,函数在上单调递增, 则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点,不符合要求, 当时,由得,当时,,当时,, 即函数在上单调递减,在上单调递增,, 令,,令,则,即在上单调递增, ,即,在上单调递增,则有当时,, ,而函数在上单调递增,取,则, 而,因此,存在垂直于y轴的直线(),与函数的图象有两个公共点, 所以实数m的取值范围是.故选D 【例2】(2022届安徽省芜湖市高三上学期期末)设实数,e为自然对数的底数,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由,可得, 两边同除得:, 可设函数,, 当时,,故单调递增,当时,,故单调递减,图像如上图所示,因为,, 故由可得,所以,整理得得. 故选C. (二) 各自构造一元函数 此类问题一般是根据恒成立,存在,使得恒成立求解. 【例3】设函数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)设,若对任意的,存在使得成立,求的取值范围. 【解析】 (1)当时,因为,所以,又因为,所以曲线在点处的切线方程为,即. (2)“对任意的,存在使得成立”等价于“在区间上,的最大值大于或等于的最大值”.因为,所以在上的最大值为. ,令,得或. ①当,即时,在上恒成立,在上为单调递增函数,的最大值大为,由,得; ②当,即时,当时,为单调递减函数,当时,为单调递增函数,所以的最大值大为或.由,得;由,得,又因为,所以; ③当,即时,在上恒成立,在上为单调递减函数,所以的最大值大为,由,得,又因为,所以, 综上所述,实数的取值范围是或. (三)消元构造一元函数 此类问题通常是利用题中条件,整理出两个变量的关系,再通过消元转化为只含有一个变量的函数,或把两个变量都用另一个变量表示. 【例4】(2022届云南省昭通市高三期末)设函数已知,且,若的最小值为,则a的值为_. 【答案】1 【解析】令,由图象如图所示可知. 因为,则,,得, 所以. 令,则, ∴当时,即时,, ∴在上单调递减, 所以, 解得; ∴当时,即时,, ∴在上单调递减,在上单调递增, 所以,解得与矛盾,舍去. 综上可得,. (四)通过换元 求解 对于含有双变量的式子,若能通过变形,使式子中的变量化为的形式,可令,把所给式子化为关于的函数或不等式或方程求解. 【例5】(2022届四川省自贡市高三第一次诊断)已知函数.若有两个零点、. (1)求的取值范围; (2)若,证明:. 【解析】 (1)解:有两个零点,且, 则, 设, 则, 当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以, 当,,且, 作出函数的大致图象,如图所示, 所以, 故实数的取值范围为; (2)证明:设, ,, 由已知, , ,所以, , 设,, 则, 设, 则, 当时,, 所以函数在上递增, , 则, 在递增,又, , 故. 【例6】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若,,且存在不相等的实数,,使得,求证:且. 【解析】(1)由题意,函数,可得, 当时,因为,所以,所以, 故函数在上单调递增; 当时,,,所以, 故函数在单调递增;当时,, 解得或,, 解得, 所以函数在区间上单调递减, 在区间和区间上单调递增. 综上所述,当时,函数在上单调递增, 当时,函数在区间上单调递减, 在区间和区间上单调递增. (2)由题知,则. 当时,,所以在上单调递增, 与存在不相等的实数,,使得矛盾,所以. 由,得, 所以,不妨设, 因为,所以, 欲证,只需证, 只需证, 令,,等价于证明,即证, 令,, 所以在区间上单调递减,所以, 从而得证,于是. (五)把其中一个看作自变量,另一个看作参数 【例7】已知,函数 (1)若函数在上为减函数,求实数的取值范围; (2)设正实数,求证:对上的任意两个实数,,总有成立 【解析】(1)由题意知: 函数在上为减函数,即在上恒成立 即:在上恒成立 设 当时,单调递减,单调递增 在上单调递增 即的取值范围为: (2)设,令:, 则 ,令,则 在上为减函数 ,即 在上是减函数 ,即 时, 【例8】(2022届吉林省五校联考)已