2022年高考数学强基计划模拟试题4

2022年高考数学强基计划模拟试题(四) (时间120分 分数150分) 1、 选择题(每小题6分,共36分): 1.(2021·江苏扬州·高三月考)已知△ 的内角 所对的边分别为 若 ,且△ 内切圆面积为 ,则△ 面积的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 根据已知条件及正弦定理可得 ,由内切圆的面积可得内切圆半径 ,最后根据 及余弦定理,并结合基本不等式求 的范围,进而求△ 面积的最小值. 【详解】 由题设, ,而 且 , ∴ , ,则 , ∴ ,由题设△ 内切圆半径 ,又 , ∴ ,而 ,即 , ∴ ,可得 ,当且仅当 时等号成立. ∴ . 故选:D 2.(2021·湖南省岳阳县第一中学高三开学考试)如图,在某城市中, ､ 两地之间有整齐的方格形道路网,其中 ､ ､ ､ 是道路网中位于一条对角线上的 个交汇处.今在道路网 ､ 处的甲､乙两人分别要到 ､ 处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达 ､ 处为止.则下列说法正确的是( ) A.甲从 到达 处的方法有 种 B.甲从 必须经过 到达 处的方法有 种 C.甲､乙两人在 处相遇的概率为 D.甲､乙两人相遇的概率为 【答案】C 【分析】 A.考虑从 到 向上走的步数和向下走的步数,利用组合数求解出结果; B.先利用组合数分析从 到 的方法数,然后再利用组合数分析从 到 的方法数,根据分步乘法计数原理可求解出结果; C.先确定出甲经过 的方法数,再确定出乙经过 的方法数,由此确定出甲、乙两人在 处相遇的方法数,结合A选项的结果求解出对应概率; D.先确定出甲、乙只能在 、 、 、 处相遇,然后根据C选项的计算方法分别计算出对应方法数,结合A选项的结果求解出对应概率 【详解】 A选项,甲从M到达N处,需要走6步,其中有3步向上走,3步向右走,则甲从M到达N处的方法有 种,A选项错误; B选项,甲经过 到达N处,可分为两步: 第一步,甲从M经过 需要走3步,其中1步向右走,2步向上走,方法数为 种; 第二步,甲从 到N需要走3步,其中1步向上走,2步向右走,方法数为 种. ∴甲经过 到达N的方法数为 种,B选项错误; C选项,甲经过 的方法数为 种,乙经过 的方法数也为 种, ∴甲､乙两人在 处相遇的方法数为 种, 甲､乙两人在 处相遇的概率为 ,C选项正确; D选项,甲､乙两人沿最短路径行走,只可能在 、 、 、 处相遇, 若甲､乙两人在 处相遇,甲经过 处,则甲的前三步必须向上走,乙经过 处,则乙的前三步必须向左走,两人在 处相遇的走法种数为1种; 若甲､乙两人在 处相遇,由C选项可知,走法种数为81种; 若甲､乙两人在 处相遇,甲到 处,前三步有2步向右走,后三步只有1步向右走,乙到 处,前三步有2步向下走,后三步只有1步向下走, 所以,两人在 处相遇的走法种数为 种; 若甲､乙两人在 处相遇,甲经过 处,则甲的前三步必须向右走,乙经过 处,则乙的前三步必须向下走,两人在 处相遇的走法种数为1种; 故甲､乙两人相遇的概率 ,D选项错误. 故选:D. 【点睛】 关键点点睛:解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数,将从 到 的路线转变为六步,其中每一条路线向上步数确定后,则对应向右的步数也能确定,因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数,由此得到的组合数可表示对应路线的方法数. 3.(2021·上海市大同中学三模)已知数列 满足 ,若 ,则“数列 为无穷数列”是“数列 单调”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由已知可得 ,设 ,若存在正整数 ,当 时,有 ,此时数列 为有穷数列;若 恒不为0,由 ,有 ,此时 为无穷数列,由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论. 【详解】 解:令 , , 由 ,可得 ,所以 ,即 , 所以数列 为等差数列,首项为 ,公差为1, 所以 , 设 ,则数列 是单调递增的等差数列, 若存在正整数 ,当 时,则有 ,此时数列 为有穷数列; 若 恒不为0,由 ,有 ,数列 就可以按照此递推关系一直计算下去,所以此时 为无穷数列. (1)若 恒不为0,则 为无穷数列,由递推关系式有 , 取 , 时, ,则 , , , ,此时数列 不是单调数列; (2)当数列 为有穷数列时,存在正整数 ,当 时,有 , 此时数列 为 , , , , , , 由 ,若数列 单调,则 , , , , 全为正或全为负, 由 ,则 , , , , 全为正,而 , 这与 单调递增矛盾,所以当数列 为有穷数列时,数列不可能单调, 所以当数列 单调时,数列 一定有无穷多项. 故选:B. 【点睛】 关键点点睛:本题的解题关键是,将论证数