2022年高考数学强基计划模拟试题3

2022年高考数学强基计划模拟试题（三） （时间120分 分数150分） 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1.（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f(x)= (sin2x+4cosx)+2sinx，则f(x)的最大值为（ ） A．4 B． C．6 D．5 +2 【答案】B 【分析】 先将 展开，提公因式并结合拼凑法可得 ，结合 放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】 ，由 可知，要求 最大值，只需 即可，结合基本不等式 可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，因此当 时 的最大值为 . 故选：B 2.（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知 ，且 ，记随机变量 为x，y，z中的最大值，则 （ ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 先求出方程的全部正整数解，即基本事件总数， 为x，y，z中的最大值，则 可能的取值为 ，然后分别求出对应的概率即可. 【详解】 根据隔板法，将 看做 个完全相同的小球排成一排，中间形成的 个空，放入两块隔板，可求得 正整数解有 组， 可能的取值为 ，不妨设 ，则 ，下分类讨论： ， ； ， ， ； ， ； ， 但根据 的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以 ，于是则有： ， ， ， ， 于是 故选：D 3．（2021·浙江·高三月考）已知各项都为正数的数列 满足 ， ，给出下列三个结论：①若 ，则数列 仅有有限项；②若 ，则数列 单调递增；③若 ，则对任意的 ，陼存在 ，使得 成立．则上述结论中正确的为（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】 对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明 ，再借助作差法即可得到结果；对于③，判断数列 是有界的还是发散的即可. 【详解】 对于①，∵ ，∴ ， 又数列 各项都为正数，∴ ， ∴数列 单调递减，∴ ，∴ ； ∵ ，即 ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ，而 为定值， ∴数列 仅有有限项，命题正确； 对于②，先用数学归纳法证明 . （1）当 时， ，显然成立； （2）假设 时， ， 则 ， 记 ， ， ，∴ 在 上单调递增， ， ∴ ， ∴对 ，都有 . ∵ ∴ ， ∴ ， 又 在 上单调递增， 又 ，∴ ， ∴数列 单调递增，命题正确； 对于③， ∵ ， ∴ ，即 ， 又 ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 显然 存在上界，即 存在上界， ∴命题错误. 故选：A 【点睛】 方法点睛：递推关系 显然无法确定通项，从而要从项间关系切入，利用单调性、最值、周期性等，结合放缩思想即可得到结果. 4．（2021·浙江嘉兴·高三月考）如图，将矩形纸片 折起一角落 得到 ，记二面角 的大小为 ，直线 ， 与平面 所成角分别为 ， ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如图，过 作 平面 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，可证 ，利用三角变换公式可证 ，从而可得正确的选项. 【详解】 如图，过 作 平面 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ， 设 ， 因为 平面 ， 平面 ，故 ， 而 ，故 平面 ，而 平面 ， 所以 ，故 ， 又 ， . 在直角三角形 中， ，同理 ， 故 ，同理 ， 故 ，故 ， 整理得到 ， 故 ， 整理得到 即 ， 若 ，由 可得 即 ， 但 ，故 ，即 ，矛盾， 故 . 故A正确，B错误. 由 可得 ， 而 均为锐角，故 ， ，故CD错误. 故选：A. 【点睛】 思路点睛：空间中不同类型的角的关系，应利用点线面的位置关系构建关于角的等式关系，注意平面几何、三角变换、解三角形等计算中的应用. 5．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 为抛物线 的焦点， ，点 为抛物线上一动点，当 最小时，点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作出图形，可知 与抛物线相切时， 取得最小值，求出点 的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合 ，可求得 ，再利用 求得结果. 【详解】 由抛物线的对称性，设 为抛物线第一象限内点，如图所示： 故点 作 垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知 ，易知 轴，可得 当 取得最大值时， 取得最小值，此时 与抛物线 相切， 设直线 方程为： ， 联立 ，整理得 ， 其中 ，解得： ，由 为抛物线第一象限内点，则 则 ，解得： ，此时 ，即 或 所以点 的坐标且 由题意知，双曲线的左焦点为 ，右焦点为 设双曲线的实轴长为2a，则 ， ， 又 ，则 故渐近线斜率的平方为 故选：B 【点睛】 方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下： ①直接求出 ，从而求出 ；②构造 的齐次式，求出 ；③采