专题二 二次函数性质综合题-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

专题二 二次函数性质综合题 1．（2021•开江县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的判断有 （　　） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】C 【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0， ∵△＝4﹣4＝0， ∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3）， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， 又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上， ∴y2＞y3＞y1，故②结论错误； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确； ④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2， ∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图， 则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定， ∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：C． 2．（2021•商河县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　） A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜ C．2≤m≤4 D．＜m≤ 【答案】C 【解答】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0， 由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9， 又方程的根为＝， 解得a＝﹣1，c＝﹣， 故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3， 如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）． 由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1， ∴2≤m≤4， 故选：C． 3．（2021•阳新县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法： ①PO2＝PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大； ③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④△PAB面积的最小值为4， 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0． 联立y＝x2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0， ∴m+n＝3k，mn＝﹣6． 设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得： ， 解得a＝，b＝﹣4， ∴y＝（）x﹣4． 令y＝0，得x＝， ∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）． 同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）． ∵+＝＝＝0， ∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称， ∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上． 连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′． 假设结论：PO2＝PA•PB成立，即PO2＝PA′•PB， ∴＝， 又∵∠BPO＝∠BPO， ∴△POA′∽△PBO， ∴∠POA′＝∠PBO， ∴∠AOP＝∠PBO． 而∠AOP是△PBO的外角， ∴∠AOP＞∠PBO，矛盾， ∴说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： 易知：＝﹣， ∴OB＝﹣OA． 由对称可知，