第29讲 圆锥曲线参数的范围问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第29讲 圆锥曲线参数的范围问题 方法总结: 解决此类问题的策略: (1)若题目中含有某个变量的范围,则可以优先考虑函数的方向,将该变量视为自变量,建立所求变量与自变量的函数关系,进而求得值域 (2)若题目中含有某个表达式的范围(或不等式),一方面可以考虑将表达式视为整体,看能否转为(1)的问题进行处理,或者将该表达式中的项用所求变量进行表示,从而建立起关于该变量的不等式,解不等式即可 (3)利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (4)利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系; (5)利用基本不等式求出参数的取值范围; (6)利用函数值域的求法,确定参数的取值范围. 典型例题: 例1.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的左焦点为F,离心率为,点是椭圆C上一点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若M､N为椭圆C上不同于A的两点,且直线关于直线对称,设直线与y轴交于点,求d的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的离心率公式和,,的关系,以及点是椭圆C上一点,可得,,,进而得到所求椭圆方程;(2)设直线AM的斜率为,由对称性可得直线AN的斜率为,求得直线AM的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理可得M的横坐标,将其中的换为,可得N的横坐标,求得MN的斜率和方程,联立椭圆方程,由判别式大于0,结合M,N的位置,解不等式可得所求范围. (1) ∵,, ∴① 又在椭圆C上, ∴② 由①②解得,, 所以所求椭圆标准方程为 (2) 由(1)知,∴轴,设直线的斜率为k,因为,关于直线对称, 所以直线的斜率为, 又,所以直线的方程是, 设,, , 所以,将上式中的k换成得,, 所以, 所以直线的方程是, 代入椭圆方程得, 所以,解得, 又由题意知点M,N在A点两侧,而直线中,当时,,故. 例2.(2022·北京八中高三开学考试)已知圆:,,为圆上的动点,若线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程; (2)已知为上一点,过作斜率互为相反数且不为0的两条直线,分别交曲线于,,求的取值范围. 【答案】(1)动点的轨迹的方程为; (2)的取值范围. 【解析】 【分析】 (1)由条件线段的垂直平分线交于点可得,由此可得,根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆,结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程;(2)由(1)可求点坐标,设直线的方程为,,联立方程组化简可得,,由直线,的斜率互为相反数可得的值,再由弦长公式求的长,再求其范围. (1) 由题知 故. 即 即在以为焦点且长轴为4的椭圆上 则动点的轨迹的方程为:; (2) 故 即. 设:, 联立 (*),, ∴ ,, 又 则: 即 若,则过,不符合题意 故,∴ , 故 例3.(2022·全国·高三专题练习)椭圆:的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程; (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围; 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)把代入椭圆方程得,进而可得,再由以及求出的值即可求解; (2)设,,由角平分线以及正弦定理可得,再根据,即可得的取值范围. 【详解】 (1)把代入椭圆方程得,解得, 因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1, 所以,又,联立得,解得, 所以椭圆的方程为; (2)如图所示,设,, 在中,由正弦定理可得 在 中,由正弦定理可得, 因为,, 两式相除可得, 又,消去得到,化为, 因为,即, 也即,解得:, 所以的取值范围为. 【点睛】 思路点睛:解决圆锥曲线中的范围或最值问题时,若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑: ①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系; ③利用基本不等式求出参数的取值范围; ④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围. 例4.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线,点是的焦点,为坐标原点,过点的直线与相交于两点. (1)求向量与的数量积; (2)设,若,求在轴上截距的取值范围. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)设A,B坐标为,再设直线方程,联立抛物线的方程,结合韦达定理与向量的数量积坐标公式计算即可; (2)由(1),利用韦达定理表达出和的关系以及在轴上截距关于的表达式,再根据得出的取值范围,进而求得截距范围即可 【详解】 (1)设A,B坐标为,由题知直线倾斜角不可能为0,设直线方程为:.联立得,, 由韦达定理得. . 向量的数量积为. (2)由(1)知,