专题9.5 乘法公式的几何背景专项训练（30道）-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.5 乘法公式的几何背景专项训练（30道） 【苏科版】 1．（2021秋•无为市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 　C　；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值． ②计算：． 【分析】（1）分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案； （2）①逆用平方差公式，求出x﹣2y＝3，联立方程组求x即可； ②逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案． 【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2， 第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ∴12＝4（x﹣2y）， 得：x﹣2y＝3， 联立， ①+②，得2x＝7， 解得：x； ② ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）（1）（1） ． 2．（2021秋•商城县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝　a2﹣b2　，S2＝　（a+b）（a﹣b）　（直接用含a，b的代数式表示） （2）请写出上述过程所揭示的数学公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1． 【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积即可； （2）由（1）题结果可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）将原式变形为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，再运用（2）题结论进行计算即可． 【解答】解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2， 由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）利用（2）题结论可得， （2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝ （2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1）+1 ＝216﹣1+1 ＝216． 3．（2021秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题： （1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝　a2﹣b2　，S2＝　（a+b）（a﹣b）　；（不必化简） （2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　； （3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022． 【分析】（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2； （2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）由（2）中所得公式，可得2020×2022＝（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣1，从而简便计算出该题结果． 【解答】解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）中的结果可验证的乘法公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得， 20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1） ＝20212﹣20212+1 ＝1． 4．（2021春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作： （1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　． （2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一