专题03 整式乘法与因式分解（5大考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题03整式乘法与因式分解 【考点1： 】 单项式乘单项式 【考点2：】单项式乘多项式 【考点3： 】 多项式乘多项式 【考点4：】乘法公式 【考点5： 】 多项式的因式分解 一、整式的乘法 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 二、乘法公式 平方差公式：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 完全平方公式：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 三、因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意： （1） 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 1.公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 注意： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提公因式法 定义：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 注意： （1） 提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2） 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3） 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.公式法——平方差公式 定义：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 注意： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4.公式法——完全平方公式 定义：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式. 注意： （1） 逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 5.因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 6.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止 考点剖析 【考点1：】 单项式乘单项式 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以单项式以及积的乘方和幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可 【详解】解：A.与不是同类项，不能合并 ，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. 与不是同类项，不能合并 ，故此选项计算错误，不符合题意； D. ，此选项计算错误，不符合题意； 故选：B 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式法则． 根据单项式乘单项式法则计算即可； 【详解】解： ， 故选：A． 3．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．将的结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考考查了负整数指数幂，积的乘方和单项式乘以单项式等计算，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后根据负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解； ， 故答案为；． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，按运算顺序正确计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点2：】 单项式乘多项式 1．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 2．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【详解】解：， 即长方体的体积为， 故选：A． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程，先利用整式乘法去掉括号，再合并同类项，最后求解一元一次方程即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 5．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除运算． （1）分别计算同底数幂的乘法、积的乘方和同底数幂的除法，再合并即可求解； （2）先计算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)13，13 (2)， (3) 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第4个图形中有13个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第n个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）∵第一个图中1个三角形， 第二个图中5个三角形， 第三个图中9个三角形， ∴图4中有13个三角形，记作 （2）由（1）可得， 图中有个三角形，记作； （3） ． 【考点3：】 多项式多单项式 1．若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，运用多项式乘以多项式运算法则计算后，根据对应项的系数相等得到的值，再代入计算即可 【详解】解： 又， ∴ ∴， 故选：A 2．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：根据长方形面积：①，该选项正确，符合题意； ②由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； ③由①将看作整体，去括号得：，该选项正确，符合题意； 由①去括号得：，该选项正确，符合题意； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 3．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ． 【答案】 【分析】利用整体法求解，阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积，根据面积公式计算即可． 本题考查了长方形面积的计算，熟练掌握整体思想解答是解题的关键． 【详解】根据题意，得阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积， 即这块草地的面积为． 故答案为：． 4．若（m、n为常数），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，准确计算是解题的关键． 直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案． 【详解】解：（m、n为常数）， （m、n为常数）， ，， ． 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式去括号，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：①__________． ②_________； ③_________． ④由此猜想_________． (2)利用得出的结论计算： 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键． （1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④； （2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④由此猜想， 故答案为：，，，； （2）解： ． 【考点4：】 乘法公式 1．下列各式中，不能运用整式乘法公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法公式，根据平方差公式和完全平方公式逐一进行判断即可． 【详解】解：A、可以用完全平方公式进行计算，不符合题意； B、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； C、不能用乘法公式进行计算，符合题意； D、可以用完全平方公式进行计算，不符合题意； 故选：C． 2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积， 故． 故选：D． 3．已知，则的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查完全平方公式，原式化为：，将作为一个整体进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ， ∴，即或 ∴或， 故答案为：或． 5．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值： 其中 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了幂的运算，有理数的混合计算，整式的化简求值； （1）先计算乘方，零指数幂与负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． （3）先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号化简，然后代值计算即可 【详解】（1）解：                                              ． （2） （3）解：原式 ，                      当 时， 原式 ． 6．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 【例1】若，，求的值． 解：因为，，所以，，，即可得．根据上面的解题思路与方法，填空： （1）若，，则　　； 【例2】若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例，解决下面的问题： （2）若满足，求的值； （3）若满足．求的值； 【拓展探究】 （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须为具体数值） 【答案】（1）12；（2）29；（3）1012；（4）21 【分析】（1）将，代入可得的值； （2）设，，则，，所以，可得的值； （3）设，，则，，所以，可得的值； （4）由题意得，，，可得，设，，则，，阴影的面积，可得图中阴影部分的面积． 本题考查了整式的化简求值，关键是掌握完全平方公式． 【详解】解：（1）将，代入， 得，， 解得：， 故答案为：12； （2）设，，则，， ； （3）设，，则，， ； （4）正方形的边长为，，， ，， 长方形的面积是5，即， 设，，则，， 阴影的面积， 答：图中阴影部分的面积为21． 【考点5：】 多项式的因式分解 1．多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．首先提出公因式，再利用平方差进行二次分解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解是指把一个多项式写成几个整式的积的形式，根据题意，逐项判断即可． 【详解】A、是因式分解，此项符合题意； B、不是因式分解，此项不符合题意； C、不是因式分解，此项不符合题意； D、不是因式分解，此项不符合题意． 故选：A． 3．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式，得出答案即可，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，关键是运用平方差公式．先运用平方差公式分解因式，再整体代入，整理后再整体代入即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：4． 5．分解因式 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法成为解题的关键． （1）先提取公因式即可解答； （2）直接提取公因数即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 6．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 过关检测 1．下列运算中， 正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用单项式除以单项式的法则，完全平方公式，整式的加减法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、 ， 故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2．下列算式①②③④，宜用平方差公式计算的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，理解公式是解题的关键．平方差公式：，据此对各种变形进行判断即可求解． 【详解】解：①不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 故选：A． 3．我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形即可求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，解释的代数恒等式是， 故选：． 4．若是完全平方式，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故选：D． 5．已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解即可，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 【详解】由题意可知，，， ， 故选：D． 6．若的展开式中不含有的一次项，则，的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．积为零 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先利用多项式乘以多项式的计算法则展开，再根据展开式中不含一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】， ∵的展开式中不含有的一次项， ∴， 即，互为相反数， 故选：B． 7．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设．若，则图中阴影部分的周长为（　　） A．40 B．45 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， 或（舍去） ∵四边形是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故选：A． 8．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和四边形均为正方形．若长方形面积为15，，，，连接，，则阴影部分的面积为（     ） A．34 B．17 C．64 D．32 【答案】D 【分析】此题考查完全平方公式的应用，设长方形中，，，根据正方形的性质和面积公式应用完全平方公式解答即可，关键是根据正方形的四边相等解答． 【详解】解：设长方形中，，， 四边形，四边形和四边形都是正方形， ，则， 长方形面积为15，，，， ，，则， ， 如图，连接， 则阴影部分的面积． 故选：D． 9．因式分解为： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，能熟记是解此题的关键，根据公式得出，，求出、，再求出答案即可． 【详解】解：关于的二次三项式可分解为， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 11．已知，那么 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得，把代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，，，那么阴影部分的面积等于 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据阴影部分面积等于两个正方形面积加上一个直角三角形面积再减去两个空白部分的面积，表示出阴影部分的面积，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：由题意，阴影部分的面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为48， 故答案为：48． 13．已知关于的方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先求出，，，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为，再将配方为，利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， 当时取等号， ∴p的最小值为， 故答案为：． 15．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算、有理数的混合运算： （1）先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法计算即可； （2）先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方计算，再进行加减运算即可； （3）先进行积的乘方，再进行单项式乘以单项式的运算，再进行加减运算即可； （4）利用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）解：． ． 16．把下列各式分解因式． (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； （）利用平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ． 17．如图1是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_________； (2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值； (4)根据（2）中的等量关系，已知，求的值． 【答案】(1) (2)或者 (3) (4)33 【分析】（1）根据题意，得到正方形的边长为，计算即可． （2）根据图形面积的关系计算即可． （3）根据公式变形计算即可． （４）设，则，，计算即可． 本题考查了完全平方公式的计算，正确变形、准确计算是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得正方形的边长为， 故答案为：． （2）三个代数式，，之间的等量关系是或者． （3）∵，，， ∴， ∴． （4）设， 则，，， ∵， ∴， ∴． 18．数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系 (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)3； (3)①；②． 【分析】（1）根据图形得出答案即可； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可； （3）①先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可； ②先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可． 本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式等知识点，能熟记完全平方公式是解此题的关键，，． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）， 要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片3张． 故答案为：3； （3）①， 又， ， 解得：； ②， ， ， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03整式乘法与因式分解 【考点1： 】 单项式乘单项式 【考点2：】单项式乘多项式 【考点3： 】 多项式乘多项式 【考点4：】乘法公式 【考点5： 】 多项式的因式分解 一、整式的乘法 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 二、乘法公式 平方差公式：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 完全平方公式：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 三、因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意： （1） 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 1.公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 注意： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提公因式法 定义：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 注意： （1） 提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2） 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3） 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.公式法——平方差公式 定义：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 注意： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4.公式法——完全平方公式 定义：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式. 注意： （1） 逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 5.因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 6.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止 考点剖析 【考点1：】 单项式乘单项式 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．将的结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 5．计算：． 6．先化简，再求值：，其中． 【考点2：】 单项式乘多项式 1．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 3．若，则 ． 4．已知，，，且的值与无关，则 ． 5．计算 (1)． (2)． 6．图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．      根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 【考点3：】 多项式多单项式 1．若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 2．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ． 4．若（m、n为常数），则 ． 5．计算： (1)； (2)． 6．阅读下面问题：你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：①__________． ②_________； ③_________． ④由此猜想_________． (2)利用得出的结论计算： 【考点4：】 乘法公式 1．下列各式中，不能运用整式乘法公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是 ． 4．若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为 ． 5．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值： 其中 6．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 【例1】若，，求的值． 解：因为，，所以，，，即可得．根据上面的解题思路与方法，填空： （1）若，，则　　； 【例2】若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例，解决下面的问题： （2）若满足，求的值； （3）若满足．求的值； 【拓展探究】 （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须为具体数值） 【考点5：】 多项式的因式分解 1．多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．因式分解： ． 4．已知，则的值为 ． 5．分解因式 (1)． (2)． 6．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 过关检测 1．下列运算中， 正确的是（  ） A． B． C． D． 2．下列算式①②③④，宜用平方差公式计算的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（     ） A． B． C． D． 4．若是完全平方式，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知．则多项式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若的展开式中不含有的一次项，则，的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．积为零 7．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设．若，则图中阴影部分的周长为（　　） A．40 B．45 C．50 D．60 8．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和四边形均为正方形．若长方形面积为15，，，，连接，，则阴影部分的面积为（     ） A．34 B．17 C．64 D．32 9．因式分解为： ． 10．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 11．已知，那么 ． 12．如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，，，那么阴影部分的面积等于 ． 13．已知关于的方程，求 ． 14．已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ． 15．计算： (1)； (2) (3) (4) 16．把下列各式分解因式． (1)； (2)； 17．如图1是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_________； (2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值； (4)根据（2）中的等量关系，已知，求的值． 18．数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系 (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$