专题11 基本不等式求最值的策略-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题11 基本不等式求最值的策略 根据观察已知表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件，再利用基本不等式求最值。 典例1．（2021秋•桂林期末）若x＞1，则的最小值等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：若x＞1，则x﹣1＞0， 则x﹣11≥21＝3， 当且仅当x＝2时取等号， ∴的最小值等于3． 故选：C． 典例2．（2021秋•城关区校级期末）若x＞1，则的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】由已知先配凑积为定值的条件，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为x＞1， 则4（x﹣1）44＝8， 当且仅当4x﹣4，即x时取等号， 故选：B． 解题步骤：第一步 首先观察已知表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式； 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 典例1．（2021秋•让胡路区校级期末）若﹣4＜x＜1，则f（x）（　　） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值﹣1 D．有最大值﹣1 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵﹣4＜x＜1，∴5＞1﹣x＞0． ∴f（x）1，当且仅当x＝0时取等号． ∴函数f（x）有最大值﹣1，无最小值． 故选：D． 典例2．（2021秋•湖南月考）若x＜0，则的最大值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】x﹣12＝2﹣[（1﹣x）]，结合基本不等式可求． 【解答】解：因为x＜0， 则x﹣12＝2﹣[（1﹣x）]2， 当且仅当1﹣x，即x＝﹣1时，取最大值﹣2． 故选：B． 典例1．（2021秋•三明期末）设m＞0，n＞0，且m+2n＝1，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D．6 【分析】由题意，（m+2n）（）＝3，从而即可利用基本不等式进行求解． 【解答】解：由n＞0，n＞0，m+2n＝1，得（m+2n）（）＝33+23+2， 当且仅当，即m，n时等号成立， 所以的最小值为3+2． 故选：C． 典例2．（2022•德阳模拟）已知正实数a、b满足a+b＝2，则的最小值是（　　） A． B．3 C．2 D． 【分析】正实数a、b满足a+b＝2得a＝2﹣b得2，然后结合（a+b）＝1可解决此题． 【解答】解：由正实数a、b满足a+b＝2得（a+b）＝1， 由正实数a、b满足a+b＝2得a＝2﹣b得2（a+b）（）﹣2 2，当且仅当且a+b＝2即时等号成立． 故选：A． 1．（2021秋•衡阳县期末）已知x，y均为正数，且x+y＝1，则的最值（　　） A．最大值9 B．最小值9 C．最大值4 D．最小值4 【分析】把要求的式子变形为 （x+y）（）5，利用基本不等式即可得到结论． 【解答】解：∵x，y均为正数，且x+y＝1 ∴（x+y）（）5≥5+2 9， 当且仅当即x，y时，取等号． 故选：B． 2．（2021秋•梁园区校级期末）下列函数中最小值为6的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A．当x＜0时，y≤﹣6，即可判断； B．因为2x+1＞0，所以y＝2x+126，即可判断； C．因为0＜|cosx|≤1，y＝|cosx|在（0，1]上单调递减，即可判断； D．当0＜x＜1时，lgx＜0，y＝lgx6，即可判断． 【解答】解：A．因为y＝x（x≠0），当x＜0时，y≤﹣6，不满足题意，故错误； B．因为2x+1＞0，所以y＝2x+126，当2x+1即x＝log23﹣1时取“＝”，满足题意，故正确； C．由题意可得0＜|cosx|≤1，所以y＝|cosx|在（0，1]上单调递减，即有y≥110，故错误； D．由题意可得lgx≠0，即x≠1，当0＜x＜1时，lgx＜0，y＝lgx6，不满足题意，故错误． 故选：B． 3．（2021秋•黔东南州期末）设函数y＝9x2，当x＞0时，则y（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最小值8 D．有最大值8 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由x＞0，得y＝9x2≥22＝4，当且仅当9x，即x时等号成立， 所以y＝9x2有最小值4． 故选：B． 4．（2021秋•无锡期末）已知函数y＝ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（m，n），正实数p，q满足mp+nq＝1，则的最小值是（　　） A．9 B．12 C．3 D．6 【分析】痕迹题意可知m＝1，n＝4，从而p+4q＝1，进一步根据4利用基本不等式即可求解． 【解