18.2.3 正方形—— 正方形的性质与判定及其提高题型 2021—2022学年人教版数学八年级下册

( 正方形的性质与判定及其提高题型 ) ( 知识梳理 ) 正方形的性质及判定 1．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2． 3． 4．正方形的面积：S= a2 或面积等于对角线相乘除以2 知识点一：一线三垂直与正方形 例1：平面直角坐标系中，Ａ（１,３）以OA为边作正方形OABC，求B、C的坐标。 【举一反三】 1、在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 2、将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为_________． 知识点二：半角模型与正方形 基本图形： 基本作法：遇半角，想旋转，旋转变半角。 例：、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：． 【举一反三】 1、如图所示，在正方形中，，点、分别在、上，且，，求的面积． 2、如图，正方形的边长为1，、上各存一点、，若的周长为2，求的度数． 知识点三：正方形与——旋转来帮忙 例：如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，E为正方形外一点，且AE⊥BE。 （1）求∠OEB的读数； （2）求证：EA+EB=OE。 【举一反三】 1、如图，若点E为正方形ABCD外一点，∠BEC=45°，连接AE． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：AE+CE=BE． 【分析】（1）过点B作BF⊥BE交EC延长线于F，由∠BEC=45°得BF=BE，根据四边形ABCD是正方形得AB=BC、∠ABE=∠CBF，依据“SAS”证△ABE≌△CBF可得∠AEB=∠F=45°； （2）由△ABE≌△CBF知CF=AE，在RT△BEF中，由勾股定理得EF=EC+CF=BE，即AE+CE=BE． 【解答】（1）解：过点B作BF⊥BE交EC的延长线于F， ∵∠BEC=45°，∴∠F=45°，∴∠F=∠BEC，∴BF=BE， 又∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ∵，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠AEB=∠F=45°； （2）证明：∵△ABE≌△CBF， ∴CF=AE， 在Rt△BEF中， ∵BE2+BF2=EF2， ∴BE=EF， ∴AE+CE=BE．