专题14：概率统计-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题14概率统计 1、 真题特点分析: 1. 【2020中科大】已知为的排列,若且,则为顺序对,设为的顺序对的个数,则_. 2.【2021中科大】抛掷一个均匀的骰子次,记该过程中出现的最大数字为,则_. 答案: 二、知识要点拓展 一.随机事件的概率 1.随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,随机事件一般用大写英文字母等来表示; 2.确定事件 (1)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (2)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件; 必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。 3.事件A的概率:在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,作P(A).由定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。 4.等可能性事件的概率:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=。 ►说明:使用公式P(A)=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。 二.互斥事件的概率 1.相关概念 (1)互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件; (2)对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。 2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解: (1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系; (2)所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; (3)两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。 从集合角度来看,A、B两个事件互斥,则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。 对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,集合A的对立事件记作,从集合的角度来看,事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集,即A∪=U,A∩=.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件。 2.事件A、B的和记作A+B,表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时,事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的,因此当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥),且有P(A+)=P(A)+P()=1。 当计算事件A的概率P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件的概率则要容易些,为此有P(A)=1-P()。 对于n个互斥事件A1,A2,…,An,其加法公式为P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 ►说明:分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。 三.独立事件的概率 1.相关概念 (1)相互独立事件:事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫相互独立事件。 (2)独立重复实验:如果在一次试验中某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cpk(1-p)n-k。 2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解: (1)相互独立也是研究两个事件的关系; (2)所研究的两个事件是在两次试验中得到的; (3)两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。 ►注意互斥事件与相互独立事件是有区别的: 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生。 3.事件A与B的积记作A·B,A·B表示A与B同时发生。 当A和B是相互独立事件时,事件A·B满足乘法公式P(A·B)=P(A)·P(B),还要弄清·,的区别。·表示事件与同时发生,因此它们的对立事件A与B同时不发生,也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即,因此有·≠,但·=。 8. 离散型随机变量的分布列:一般地,设离散型随机变量可能取的值为,取每一个值()的概率,则称下表为随机变量的概率分布,简称为的分布列。 ...... ...... ...... ...... 9. 数学期望:一般地,若离散型随机变量的概率分布为 ...... ...... ...... ...... 则称为的数学期望(平均数,均值),简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若(二项分布),则。 10. 二项分布: (1)定义:如果在一次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的