专题12：立体几何-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题12立体几何 1、 真题特点分析: 1.【2020武大6】 两个半径为实心球体,它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为,则( ) A. B. C. D. 2. 【2020武大7】空间图形的体积为( ) A. B. C. D. 3.【2020武大17】在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中,异面直线共有_对. 4. 【2020武大19】若空间三条直线,,两两异面,则与三条直线都相交的直线有_条. 答案:无数条 5.【2021清华8】已知四面体中,,则体积的最大值为( ). A. B. C. D. 答案:C 二、知识要点拓展 一.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为该线与另一线的射影垂直; (4)转化为该线与形成射影的斜线垂直. 二.证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 三.空间的线线平行或垂直:设,,则: 1.平行:; 2.垂直:. 四.夹角公式: 设=,=,则. 推论 ,此即三维柯西不等式. 五.异面直线所成角: = (其中()为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量) 六.直线与平面所成角:(为平面的法向量). 七.二面角的平面角:或(,为平面,的法向量) 八.空间两点间的距离公式 : 若,,则 =. 九.点到平面的距离 : (为平面的法向量,是经过面的一条斜线,). 十.柱体、锥体的体积: 1.柱体:(是柱体的底面积、是柱体的高) 2.椎体:(是锥体的底面积、是锥体的高) 十一.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,则有. 十二.球的表面积和体积公式: 1.球的表面积公式:(为球的半径) 2.球的体积公式:(为球的半径) 一.空间余弦定理 如图,平面、相交于直线l。为l上两点,射线在平面内,射线在平面内。已知,且都是锐角,是二面角的平面角,则 。 ►证明:在平面中,过作的垂线,交射线于点。 在平面中,过作的垂线,交射线于点。 设,则, ,并且就是二面角的平面角。 在与中,利用余弦定理,可得等式 , 所以, 故 二.射影面积公式: 在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为,此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为,又二面角的平面角度数为,则。 三.欧拉公式: ►欧拉公式:设、和分别表示凸多边形体面、棱(或边)、顶点的个数,则。 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种:正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体。 事实上,设正多面体每个面是边形,每个顶点引出条棱,则棱数应是(面数)与的积的一半,即。① 同时,应是(顶点数)与的积的一半,即。② 由①、②,,代入欧拉公式中,有。 由于故。 显然,不可能同时大于3.由和的意义知,故中至少有一个等于3. 当时,易得;同理,时,。 综上,时,即正四面体;当时,即正六面体;时,即正八面体;时,即正十二面体;时,即正二十面体。 四.祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。 3、 典例精讲 例1.(2011“华约”)两条异面直线互成,过空间中任一点A可以作出( )平面与两异面直线都成角。 8. 一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个 ►答案 B ►分析与解答:如图,将异面直线平移到A点,记此时两条直线为,成,所确定的平面为,令分别为的两条角平分线。则与所成角相等的平面必经过或。而过与所成角的最大值为。这种情况不合要求。过的平面与所成角的范围为,绕l适当转动平面,并由对称性知,符合要求的平面有且仅有两个。 例2.(2011“卓越联盟”)在正方体中,E为棱的中点,F是棱上的点,且 ,则异面直线EF与所成角的正弦值为( )。 (A) (B) (C) (D) ►答案B ►分析与解答:如图,取中点G,连结FG,则EF与所成角即为。不妨设正方体棱长为1,则,。。 例3.(2010复旦)设是正三棱柱,底面边长和高都是1,P是侧面的中心点,则P到侧面的对角线的距离是( )。 (A) (B) (C) (D) ►答案C ►分析与解答:在中,过作,垂足H。,则由余弦定理知,从而,所以。 例4.(2012“卓越联盟”)直角梯形中,,,面垂直于底面。 (1) 求证:面垂直于面; (2) 若,求二面角的正切值。 ►分析与解答: (1)由于平面平面,且面,而 ,。 (2) 由,。由(1)知,且 。 过作于延长线交于,连结,则 。易见。 设二面角的