专题11：三角函数综合培优-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合 1、 真题特点分析: 1. 【2021中科大5】求函数的取值范围. 2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根,则( ) A. B. C. D. ,,成等差数列 3.【2020年武大15】设函数,则下列错误的是( ) A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数 C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心 二、知识要点拓展 一. 两角和、差的三角公式: 1.正弦: 2.余弦: 3.正切: 二.正弦、余弦的诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 , 三.二倍角公式: 1.余弦: 2.正弦:、 (3)正切: 四.辅助角公式: ►注意:有实数解 五.半角公式(万能公式): 六.正弦定理: (为三角形外接圆的半径) 七.余弦定理: 八.三角形面积公式: 三角这一章的特点是公式多,除了高考要求一些基本知识点和公式之外,自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论,归纳如下: 8. 三倍角公式: , , 。 ►注意:利用三倍角公式可以推导出这一特殊值:令,则, ,。显然,(舍去负根)。 9. 常见三角不等式: 1.若,则; 2.若,则. 3.. 三.和差化积与积化和差公式: 和差化积 积化和差 四.三角形中的一些三角恒等式:在中, ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧; ⑨; ⑩。 以上十个式子中,前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的,⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式:。这是一个非常有用的式子,在自主招生考试中经常用到,希望引起足够的重视。 ►注意:锐角中,任意一个角的正弦大于另一个角的余弦,如。事实上,由,即得。由此对任意锐角,总有。 五.三角恒等式: 三、典例讲解 例1.(清华)函数的值域是 。 例2.(复旦)在中,,求。 例3.(北京)求使得在有唯一解的。 例4.(北京)的三边满足,为的内角。求证:。 例5.(清华)、、为的内角,且不为直角三角形。 (1) 求证:; (2) 当,且的倒数成等差数列时,求的值。 例6.的三个内角成等差数列,求证:. 例7.在中,猜想的最大值,并证明之。 例8.(清华)求的值。 例9.(上海交大)是否存在三边为连续自然数的三角形,使得: (1) 最大角是最小角的两倍; (2) 最大角是最小角的三倍; 若存在,求出该三角形;若不存在,请说明理由。 四、真题训练 1.(复旦)已知,则( )。 (A) (B) (C) (D) 2.(复旦)已知函数,其中x为实数且k为整数,在的最小正周期是( ) (A) (B) (C) (D) 3.(复旦)当和取遍所有实数时,函数所能达到的最小值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.(复旦)已知是关于x的方程的两个根,这里,则( ) (A) (B) (C) (D) 5.(武大)如果,那么的取值范围是( )。 (A) (B) (C) (D) 6.(复旦)设。且满足,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 7.(上海交大)若,则 。 8.(南大) 。 9.(复旦)设,设,若存在,使恒成立,在的范围为 。 10.(南开)实数A、B、C满足,,求证:。 11.(复旦)在中,,AD是A的角平分线,且。 (1) 求k的取值范围; (2) 若,问k为何值时,BC最短? 12.(五校联考)中,,求。 训练 1. 三个数a,b,c,且满足,,,按从小到大的顺序排列这三个数. 2. 已知:定义在R上的函数为奇函数,且在上是增函数.若不等式对任意恒成立.求实数的取值范围. 3. 在非直角中,边长满足. (1) 证明:; (2) 是否存在函数,使得对于一切满足条件的,代数式恒为定值?若存在,请给出一个满足条件的,并证明之;若不存在,请给出一个理由. 4. 设非直角的重心为,内心为,垂心为,内角所对的边分别是.求证: (1); (2); (3). 5. 在非钝角中,,分别是的外心和内心,且,求. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!57 学科网(北京)股份有限公司 $2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合 1、 真题特点分析： 1. 【2021中科大5】求函数的取值范围． 答案： 2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ） A. B. C. D. ，，成等差数列 解析：根据对称性可选ABC 3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（ ） A. 方程有解 B. 方程 在 内解的个数为偶数 C. 的图像有对称轴D. 的图像有对称中心 二、知识要点拓展 一． 两角和、差的三角公式： 1.正弦： 2.余弦： 3.