专题10：数列与极限-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题10数列与极限 1、 真题特点分析: 【2020武大6】 两个半径为实心球体,它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为,则( ) A. B. C. D. 二、知识要点拓展 一.数列极限的定义:一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个常数,那么就说数列以为极限. 注:不一定是中的项. 二.几个常用的极限:(1)(为常数); (2) (3)(). (4)(,且) (5) 三.数列极限的四则运算法则:设数列、,当,时: () 四.无穷等比数列:若无穷等比数列,其所有项的和(各项的和)为:. 五.常见的数列极限可以归纳为两大类: 第一类是两个关于自然数的多项式的商的极限: 当时,上述极限不存在. 第二类是关于的指数式的极限: 当或时,上述极限不存在. 1. 特殊数列的极限:, (1) 是常数); (2) ; (3)(,为常数); (4) . 下面证明第四个公式 证明:令,取自然对数得到,令,得, 由洛比达法则得,即 所以:,则,即. 另外,数列是单调递增的,理由如下:由个正实数的几何平均数它们的算术平均数)有,所以 。 2. 夹逼定理:如果数列、以及满足下列条件: (1) 从某项起,即当(其中),有(); (2) 且; 那么数列的极限也存在,且 三.分期付款问题: 分为两种类型:等额本金、等额本息。 等额本金是这样一种还款方式:在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样,由于每月的还款本金额固定,而利息越来越少,因此贷款人起初还款压力较大,但是随时间的推移每月还款数额越来越少。 等额本金贷款计算公式:每月还款金额=(贷款本金还款月数)+(本金-已归还本金累计额)×每月利率。 等额本息是这样一种还款方式:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。 设贷款本金为,月利率为,还款月数为,则每月还款额计算公式为:。 三、例题精讲 例1.(复旦)设是的展开式中项的系数(),则极限( ) (A)15 (B)6 (C)17 (D)8 ►答案:D ►分析与解答: ,故 ,所以。 例2.(清华)的整数部分为,小数部分为。 (1) 求; (2) 求; (3) 求。 ►分析与解答: (1)由, 又,故。 (2) 。 (3) ,故 。 又,故,所以 。 例3.(上海交大)如图所示,设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形, 直角顶点在曲线上。试求的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之和是否存在。 ►分析与解答: (因为) ,即。又,故 ,即。 第个三角形面积 ,而不存在极限(见第八讲习题16),故 也不存在极限,不存在极限。 例4.(上海交大)两人轮流掷一个骰子,第一次由先掷,若掷到一点,下次仍由掷;若掷不到一点,下次换掷。对同学同样适用该规则。如此依次投掷,记第次由掷的概率为。 (1) 求与的关系; (2) 求。 ►分析与解答: (1),。 (2)解法一:两边同时取极限,设,则。 解法二:设,解得。 ,故,。 例5.(北京理)已知数集具有性质;对任意 的,与两数中至少有一个属于. (1)证明:,且; (2)证明:当时,成等比数列. ►分析与解答: (1)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于, 由于,∴,故. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而,∴. ∵, ∴,故. 由具有性质可知. 又∵, ∴, 从而: ∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)由(1)知,当时,有,即, ∵,∴,∴, 由具有性质可知. ,得,且,∴, ∴,即是首项为1,公比为成等比数列..k.s.5. 例6.对于数列若存在常数,对任意的,恒有 则称数列为. (A) 首项为1,公比为的等比数列是否为?请说明理由; (B) 设是数列的前项和,给出下列两组论断; A组:①数列是 ②数列不是 B组:③数列是 ④数列不是 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (3) 若数列、都是,证明:数列也是. ►分析与解答: (1)设满足题设的等比数列为,则,于是 因此|- |+|-|+…+|-|= 因为所以即 故首项为1,公比为的等比数列是。 (2)命题1:若数列是,则数列是. 此命题为假命题。 事实上,设,易知数列是,但 由的任意性知,数列是,此命题为假命题。 命题2:若数列是,则数列是. 此命题为真命题 事实上,因为数列是,所以存在正数,对任意的有 即。于是 所以数列是。 (III)若数列、都是,则存在正数,对任意的有 注意到 同理: 记,则有 因此 + 故数列是数列 例7.(上海交大)求极限. ►分析与解答: 因为,从而转化为积分; 由牛顿-莱布尼茨公式(其中满足)得: 。所以. 例8