专题8：数列的通项与递推-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题8数列的通项与递推 1、 真题特点分析： 1.【2021年北大18】已知数列满足，．数列满足，．若正整数满足，则的最小值为________． 答案：24 2.【2020中科大4】若，，，则_______________． 二、知识要点拓展 1． 等差数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：. 2． 等比数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：或 . 3． 数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为). 4． 常见数列的前项和公式： 【知识拓展】 一．对于数列，若存在正整数及一个将与前面项联系起来的方程 ，则称数列是阶递推数列，此方程为递推方程。 由（*）得出，称为数列的递推关系。 一般说来，确定一个阶递推数列需要知道阶初始值：。 （A） 求通项问题的主要类型： 1．转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通项公式求出原数列的通项。 2.累加法： ►方法：利用叠加法，。 3.累积法： ►方法：利用迭代法，。 4.待定系数法：（为常数且，） ►方法：用待定系数法，构造一个公比为的等比数列，令，，从而 是一个公比为的等比数列。 5.（为非零常数且） 方法：上式两边同时除以，，令，有，转化为第一种类型，用叠加法解决。 6.特征根法：（）（为常数） ►方法：可用下面的定理求解。令为相应的二次方程的两根（此方程又称为特征方程）； （1） 当时，其通项公式为：； （2） 时，其通项公式为：， 其中分别由初始条件所得的方程组和唯一确定。 更一般地，对于常系数线性递推数列，其特征方程 的根（互不相同）有个，分别为，且是重根，，则，其中是关于的次多项式，其系数由初始值决定。 7. 不动点法：形如（，且），的递推数列的通项问题常用不动点法解决. 类型I：（，且），令. （A） 若有两个不相等的实数根，则（其中），即数列成等比数列，公比为，则可求. （B） 若有两个相等的实数根，则（其中），即数列成等差数列，公差为，则可求. （拓展）类型II：，令. （1） 若有两个不相等的实数根，即、，从而有 、，所以 . 同理可得. 所以，两式相除，得，令，则，两边取对数，不难得到的通项公式，从而可得. （2） 若有两个相等的实数根，则可得，. 由，令，化简可得，因此是等比数列. 三．周期数列： 对于数列，如果存在一个常数（），使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质： ①周期数列是无穷数列，其值域是有限集； ②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）； ③如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期； ④如果是数列的最小正周期，是数列的任一周期，则必有，即，； ⑤已知数列满足（，为常数），分别为的前项的和与积，若，，，则，； ⑥设数列是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是关于的模数列，记作。若模数列是周期的，则称是关于模的周期数列。 ⑦任意阶齐次线性递归数列都是模的周期数列。 四．阶差数列： 对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是的二阶差数列；依此类推，可以得到数列的阶差数列，其中。 如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。 高阶等差数列具有以下性质： ①如果数列是阶等差数列，则它的一阶差数列是阶等差数列； ②数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式； ③如果数列是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多项式。 三、典例精讲 例1．（复旦）设，，，那么（ ） （A） 数列是单调增的 （B）数列是单调减的 （C）数列或是单调增的，或是单调减的 （D）数列既非单调增的，也非单调减的。 ►答案：D ►分析与解答： 。显然，若，则单调递增；若，则，为常数列；若，则单调递减。 例2．（复旦）设，，则数列的极限为（ ） （A） （B） （C） （D） ►分析与解答： 递推数列对应的特征方程为，，，故 。再由，有，解得所以， 从而的极限为。故选A。 例3．（武大）在数列中，。 （1） 求证：数列是等比数列； （2） 求数列的前项和。 ►分析与解答： （1）由，这