第28讲 圆锥曲线的面积问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第28讲 圆锥曲线的面积问题 方法总结: 1、面积问题的秒杀总结: (1)求三角形的面积需要寻底找高,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)。 (2)面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和 2、多个图形面积的关系的转化:寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点,从而可将面积的关系转化为线段的关系 3、面积的最值问题:通常利用公式将面积转化为某个变量的函数,再求解函数的最值, 典型例题: 例1.(2022·山西吕梁·一模(文))已知椭圆的离心率为,点,是椭圆C的左右焦点,且右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆C的方程; (2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A,B两点,求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据抛物线的方程可求,根据离心率可求,再求出后可得椭圆方程. (2)设直线方程为,设,,联立直线方程和抛物线方程,消元后利用韦达定理得到面积的表达式,利用换元法和导数可求面积的最大值. (1) 易知抛物线的焦点为,所以, 又因为离心率,所以, 又因为所以椭圆C的方程为 (2) 由题意设直线方程为,设, 与椭圆方程联立消去得:,易知 所以, 所以 因为到直线的距离为 所以 设,则, 设,则,所以在单调递增, 所以,即三角形面积的取值范围为 例2.(2022·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知点F既是椭圆的右焦点,又是抛物线的焦点.和在第一象限内交于. (1)求椭圆的标准方程; (2)过的动直线l与交于A,B.直线OA与交于M,N,直线OB与交于P,Q.记四边形MPNQ的面积为,的面积为.求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据题意可得,将点K坐标分别代入椭圆和抛物线方程,即可求得a,b值,即可得答案. (2)由(1)知的标准方程为,设直线l的方程为,与抛物线联立,结合韦达定理,可得,设设直线MN的方程为,与椭圆联立,可得,与抛物线联立,可求得,用代替k可得和,进而可得表达式,结合基本不等式,即可得答案. (1) 由题可知,解得, 所以的标准方程为. (2) 由(1)知的标准方程为. 设,,直线l的方程为. 联立,得. 由韦达定理得, 因为 所以. 设直线MN的方程为. 联立,得. 联立,得. 用代替k可得,. 所以 等号成立当且仅当. 故的最大值为. 例3.(2022·江西赣州·高三期末(文))已知点M是椭圆C:上一点,,分别为椭圆C的上、下焦点,,当,的面积为5. (1)求椭圆C的方程: (2)设过点的直线和椭圆C交于两点A,B,是否存在直线,使得与(O是坐标原点)的面积比值为5:7.若存在,求出直线的方程:若不存在,说明理由. 【答案】(1) (2)存在, 【解析】 【分析】 (1)根据焦距可求出c,再根据以及的面积可求出a,b,即得椭圆方程; (2)设直线方程并和椭圆方程联立,得到根与系数的关系式,根据与的面积比值为5:7,得到相关等式,联立根与系数的关系式化简,即可得到结论. (1) 由, 由, ,故, ∴, ∴, ∴, 即椭圆的标准方程为. (2) 假设满足条件的直线存在, 当直线的斜率不存在时,不合题意, 不妨设直线:,,,显然 , 联立,得, 所以, 因为,,得, 即(3), 由(1),(3),得 (4), 将(1)(4)代入(3)得, 所以直线的方程为, 故存在直线,使得与的面积比值为5:7. 【点睛】 本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系,涉及到椭圆中的三角形面积问题,解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立,得到根与系数的关系式,再将该关系式代入到相关等式中化简,其中计算量大,多是关于字母参数的运算,要求计算准确,需要细心和耐心. 例4.(2022·浙江嘉兴·高三期末)已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大. (1)求抛物线C的方程; (2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,若三角形ABP的重心G在定直线上,求三角形ABP面积的最大值. 【答案】(1); (2). 【解析】 【分析】 (1)根据题意,抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等,然后根据抛物线的定义即可求得答案. (2)设动点,切点,,进而设出切线方程并代入抛物线方程,结合判别式法和点G在直线上得到的关系,然后取线段AB的中点Q,求出点Q的坐标,最后根据求得答案. (1) 根据题意,抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等,由抛物线的定义可知:,,抛物线C的方程为. (2) 设动点,切点,. 设过A的切线PA方程为,与抛物线方程联立, 消去x整理得,,所以, 所以切线PA方程为,同理可得切线PB方程为, 联立解得两切线的交点,所以有. 因为, 又G