专题17.2 勾股定理与动点问题（压轴题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题17.2 勾股定理与动点问题 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，BD⊥AC交AC于点D．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/s，设出发时间为ts． （1）求BC上的高； （2）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值． 【思路点拨】 （1）过点A作AH⊥BC于H，利用勾股定理即可求出AH的长； （2）首先利用勾股定理求出CD的长，由△CDP是等腰三角形进行分类，分别是CP＝CD，DC＝DP，PD＝PC三种情形，分别求出PC的长即可解决问题． 【解题过程】 解：（1）过点A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BHBC＝15（cm）， 在Rt△ABH中，由勾股定理得， AH20（cm）， ∴BC上的高为20cm； （2）由S△ABCBC×AHAC×BD得， 30×20＝25×BD， ∴BD＝24cm， 在Rt△BDA中，由勾股定理得， AD（cm）， ∴CD＝CA﹣CD＝25﹣7＝18（cm）， ①当CP＝CD＝18cm时，t＝（25+25+30﹣18）÷2＝31； ②当DC＝DP时，过点D作DF⊥BC于F， 由面积法得，DF（cm）， 由勾股定理得，CF（cm）， ∴PC＝2CF（cm）， ∴t＝（25+25+30）÷2＝29.2； ③当PD＝PC时，设PC＝xcm，则PF＝（x）cm， 在Rt△PDF中，由勾股定理得， x2＝（x）2， 解得x＝15， ∴PC＝15cm， ∴t＝（25+25+30﹣15）÷2＝32.5， 综上：t＝31或14.2或32.5． 1．（2020秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【思路点拨】 利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题． 【解题过程】 解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10， 根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8， ∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8， 故选：A． 2．（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　） A．或 B．或24或12 C．或24或12 D．或或24 【思路点拨】 当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【解题过程】 解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm， ∴BC＝24cm． ①当BP＝BA＝25时， ∴t． ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm， ∴t＝24． ③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， ∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2， 解得t． 综上，当△ABP为等腰三角形时，t或24或， 故选：D． 3．（2021•赣州模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，连接AC，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为，则点P的位置有（　　） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【思路点拨】 根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决． 【解题过程】 解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°， ∴AC＝4，AD2， ∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：， ∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°， ∴AB＝BC＝2， ∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：2， ∵2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为， ∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上， 即满足条件的点P有3处， 故选：B． 4．（2020秋•耒阳市期末）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF＝（　　） A．5 B．8 C．13 D．4.8 【思路点拨】 连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值． 【解题过程】 解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG， ∵AC＝BC＝5，AB＝8， ∴BG＝