第一章 三角函数（讲义+典型例题）-2021-2022学年高一下学期数学（北师大版2019必修第二册）

第一章三角函数（讲义+典型例题） 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 轴上角： 轴上角： 3、第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 4、区分第一象限角、锐角以及小于 的角 第一象限角： 锐角： 小于 的角： 5、 若 为第二象限角，那么 为第几象限角？ 所以 在第一、三象限 例1.2．若角 是第一象限角，问角（1） ，（2） ，（3） 各是第几象限角？ （1） 是第一或第二象限角或是终边重合于 轴的非负半轴的角；（2） 是第一或第三象限角；（3） 是第一或第二或第三象限角. 【分析】 （1）由 可得 ，可得答案； （2）由 得 ，再对整数 分类讨论，可得答案； （3）由 得 ，再对分类讨论，可得答案. 【详解】 （1）∵ 是第一象限角， ∴ （*） ∴ . 故 是第一或第二象限角或是终边重合于 轴的非负半轴的角. （2）由（*）得 . ①当 为偶数时，令 ， 得 ，这表明 是第一象限角. ②当 为奇数时，令 ， 得 ，这表明 是第三象限角. 综合①②知， 是第一或第三象限角. （3）由（*）得 . ①当 时， ，这表明 是第一象限角. ②当 时， ，这表明 是第二象限角. ③当 时， ，这表明是第三象限角. 综合①②③知，是第一或第二或第三象限角. 【点睛】 本题考查了由 的象限求它的二倍角、半角、三分之一角的象限，考查了分类讨论思想，属于中档题. 举一反三 写出终边与x轴负半轴重合的角的集合，并求在 之间的角. ； ，180°，540° 【分析】 根据终边与x轴负半轴重合的角的性质，结合所给的范围进行求角即可. 【详解】 因为在 范围内，终边与x轴负半轴重合的角为 ， 因此与 角终边相同的角构成集合 ； 当 时，有 ， 解得： ，因此 ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 所以终边与x轴负半轴重合的角的集合是 ； 在 之间的角为 ，180°，540°. 【点睛】 本题考查了终边与x轴负半轴重合的角的性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 2、 弧度制： 1.弧长等于半径时，所对的圆心角为 弧度的圆心角，记作 . 2、角度与弧度的转化： 3、角度与弧度对应表： 角度 弧度 4、弧长与面积计算公式 弧长： ；面积： ，注意：这里的 均为弧度制. 例2①将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3） （4）－ . 4．（1）20°＝ ；（2）－15°＝－ ；（3） ＝105°；（4）－ ＝－396°. 【分析】 利用角度和弧度之间的转化公式，代值计算即可. 【详解】 （1）20°＝ ＝ . （2）－15°＝－ ＝－ . （3） ＝ ×180°＝105°. (4)－ ＝－ ×180°＝－396°. 【点睛】 本题考查角度和弧度之间的相互转化，只需正确利用公式即可. ②若某扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可. 【详解】 设该扇形半径为 ， 又∵圆心角 ，弧长 ， ∴扇形弧长公式 可得， ，解得， . 故选：B. 举一反三 1. 转化为弧度数为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据 ，简单计算可得结果. 【详解】 由 ，所以 故选：D 【点睛】 本题考查弧度制的转化，掌握 ，属基础题. 2．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5 （1）求该扇形的面积；             （2）求该扇形中心角的弧度数． 7．（1） ；（2）1． 【分析】 （1）根据扇形面积公式直接计算；（2）根据扇形弧度数公式 计算求值. 【详解】 解：（1） EMBED Equation.DSMT4 ， ， ； （2） 【点睛】 本题考查弧度制，扇形面积，重点考查基本公式，属于基础题型. 三、任意角的三角函数 1、正弦： ；余弦 ；正切 其中 为角 终边上任意点坐标， . 例3.设角 的终边经过点 ，那么 等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】 利用任意角的三角函数的定义可求出 的值，从而可求得答案 【详解】 解：因为角 的终边经过点 ， 所以 ， 所以 ， 故选：D 举一反三 1．（多选）已知角α的终边经过点 ，则（ ） A．