第四章 三角恒等变换（讲义+典型例题）-2021-2022学年高一下学期数学 北师大版（2019）必修第二册

第四章 三角恒等变换(讲义+例题) 1.同角三角函数基本关系式 (,,,三式之间可以互相表示) 例1.已知是第二象限,且,计算: (1); (2) 答案(1);(2). 【分析】 (1)首先根据诱导公式化简,再上下同时除以 后,转化为正切表示的式子,求值;(2)首先利用诱导公式化简,再转化为齐次分式形式,转化为正切求值. 【详解】 (1)原式,上下同时除以后, 得; (2)原式, 上下同时除以后, 得 举一反三 1.已知, 求:(1); (2). 答案.(1) 4 (2) 【分析】 (1)分子分母同时除以,化为可得答案. (2)将分子1写成,再分子分母同时除以,化为,可得答案. 【详解】 (1) (2) 2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ,该法也叫合一变形). (8) 例2:(1).若,则的值为( ) A.1 B.3 C.5 D.7 1.B 【分析】 利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】 由, 又, 原式. 故选:B. (2).( ) A. B. C. D. 2.A 【分析】 根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简,由此求得正确选项. 【详解】 依题意,原式,故选A. 【点睛】 本小题主要考查三角函数诱导公式,考查两角差的正弦公式,属于基础题. 3.求值: (1); (2). 答案.(1);(2). 【分析】 (1)根据两角和的正弦公式,结合特殊角的三角函数值进行求解即可; (2)根据两角和的正切公式,结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 (1); (2). 【点睛】 本题考查了两角和的正弦、正切公式,考查了特殊角的三角函数值,考查了数学运算能力. 举一反三 1.( ) A. B. C. D. 答案.A 【分析】 逆用两角差的正弦公式进行化简即可. 【详解】 . 【点睛】 本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题. 2(多选).下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【分析】 利用辅助角公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式即可求解. 【详解】 对于A, ,故A正确; 对于B,由两角和的正弦公式, ,故B正确. 对于C,,故C错误. 对于D,,故D错误. 故选:AB 3.如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是. (1)求的值: (2)若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值. 答案.(1)(2) 【分析】 (1)依题意,任意角的三角函数的定义可知,,进而求出. 在利用余弦的和差公式即可求出. (2)根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值. 【详解】 解:因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是, 所以由任意角的三角函数的定义可知,. 从而. (1)于是 . (2)因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是, 所以,从而. 于是 . 因为为锐角,为钝角,所以 从而. 【点睛】 本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题. 3,辅角公式 其中,比如: 例3:1.已知,则( ) A. B. C. D. 答案.D 【分析】 根据题中条件,由两角差的余弦公式化简整理所求式子,即可得出结果. 【详解】 因为, 所以 . 故选:D. 【点睛】 本题主要考查根据两角差的余弦公式化简求值,属于基础题型. 2.化简_. 答案. 【分析】 化简可得:,根据特殊值即可得解. 【详解】 故答案为: 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值,考查了正弦的两角差公式,考查了计算能力,属于基础题. 举一反三 1.化简:(1); (2). 答案.(1);(2). 【分析】 逆用两角和与差的正弦函数公式变形即可. 【详解】 (1)原式 . (2)原式 . 【点睛】 本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用,属于基础题. 2.已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数在区间上的最大值.” 解答:(1)因为, 所以 . 所以. 所以函数的最小正周期是. (2)因为, 所以. 所以当时,函数的最大值是1. 所以当时,函数的最大值是2. 4.二倍角公式 (1) (2) (3) 降幂公式: (1) (2) 升幂公式 (1) (2) (3) (4) (5) 例4:1.已知,,则( ) A. B. C. D. 2.D 【分析】 利用以及解出,的值,再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】 因为,所以, 代入得, 因为,所以,所以, 所以, , 故选:D 【点睛】 关键点点睛:本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系,以及三角函数值在每个象