2.1.2向量的基本关系教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第 2 课时教学设计 （一）课时教学内容 1.2 向量的基本关系 （二）课时教学目标 通过类比实数集的元素之间的关系，理解向量集合中平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量、向量的夹角等基本要素。 （三）课时重点难点 重点：向量的基本关系 难点：对向量基本关系的探究和理解过程 （四）教学过程流程： 复习引入--构建新知--典例剖析--课堂练习--课堂小结--课后作业--目标检测环节 1：复习引入 问题 1：请同学们回顾一下上节课学习的平面向量的相关概念？ 几何表示：有向线段 代数表示：字母符号 特殊向量：零向量，单位向量 物理背景 向量的概念 向量的表示 向量集合中的元素构成 向量的模的表示 基本关系？ 生：我们从物理学中的矢量，剥去物理属性，抽象出了一种新的数学概念--向量，将既有大小又有方向的量称为向量。接着类比数的学习过程，确定了向量的研究路径。用有向线段、字母符号表示向量。把平面中的所有向量构建成一个集合，类比实数集中的特殊元素 0、1，得到平面向量集合中的特殊元素：零向量和单位向量。 师：非常好。这节课我们将研究平面向量集合中的元素之间的基本关系。 设计意图：复习上节课研究内容，引出本节课研究内容。 环节 2：构建新知 问题 2： 在正六边形 ABCDEF 中的一些线段上加上箭头表示平面向量，通过正六边形中的向量探索它们之间的特殊关系？ A B F C E D 师：平面向量具有大小和方向的双重属性，研究它们之间的关系就得从这两方面去考虑。由于平面向量的大小关系其实就是数量之间的关系，因此我们把研究的重点放在平面向量的方向上. 大家可以把你们认为具有特殊关系的向量组列举出来。 师生活动： 提出问题，引发学生思考，让学生通过在正六边形中作出向量进行探讨.通过学生合作交流，列举出学生认为具有特殊关系的向量组。数的基本关系是数的大小关系。向量有大小，有方向，引导学生研究向量要从向量的大小和方向两个角度去考虑。而向量的大小关系就是数量关系，进一步引导学生可以把探究的侧重点放在向量的方向上。 生： AB与 FC ； FA与 BE . 师：你认为这两组向量有什么特殊关系呢？ 生：没有考虑向量的大小，只考虑向量的方向， AB与 FC 方向相同，大小不定， FA与 BE 方向相反，大小不定。 师：这两组向量的方向特殊，方向相同或相反。很好，其他同学要补充吗？ 生： FE与 BC ; FE与 CB .我既考虑了向量的方向，也考虑了向量的大小。 FE与 BC 方向相同，大小也相等， FE与 CB 方向相反，大小相等。 师：嗯，既考虑了方向的特殊性，又考虑了大小的特殊性。非常好。其他同学还有没有要补充的？ 生： AE与 FC .它们是垂直的。 师：好的。我们先看前四组，根据我们对这四组向量方向和大小的描述，它们 有什么共同特征呢？ 生：这四组平面向量方向相同或相反。 师：将这四组向量画在正六边形中，从图形上直观感受，每一组向量，表示它 们的有向线段所在的直线有什么位置关系？ 生：是平行的。 师：数学中将这种方向相同或相反的非零向量称为平行向量。平行向量是向量 在方向上的特殊的关系。 基本关系： 1、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。若 a 与 b 平行,记作： a // b 师：零向量的方向任意.规定：零向量与任何向量平行. 师：对这几组向量，我们可以怎么书写它们之间的关系呢？ 生： AB // FC ， FA/ / BE ， FE/ / BC ， FE // CB 。 师：在平行向量的基础上，考虑向量的模长，有没有关系更特殊的向量呢？ 生： FE与 BC 方向相同，大小相等。 FE与 CB 方向相反，大小相等。 师：我们先看 FE与 BC 这组向量，数学中将大小相等，方向相同的向量称为相等 向量。 基本关系： 2、相等向量：大小相同且方向相同，若 a 与 b 相等，记作： = a b 师：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小方向确定，相当于给这个向量贴了标签，无论它走到哪里，始终不变。表示向量的有向线段的位置在这个过程中不断的发生变化，有向线段有没有改变呢？ 生：变了。 师：向量有没有变？ 生：没变。 师：为什么？ 生：有向线段与起点有关，向量与起点无关。 师：也就是说每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量却对应着无数条 有向线段。大家能不能用一个词来刻画向量的这个特征呢？ 生：向量是自由的。 师：这也是向量的魅力所在，正因为向量的这个特征，为后续学习向量的运算以及用向量处理几何问题提供方便。我们学习的数，数与数之间的基本关 1 2 系就有相等关系。比如： 2 = 4 =0.5 虽然表达的形式不同，但它们表示相同的数