专题6：导数的应用-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题6：导数的应用 1、 真题特点分析： 【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 答案：B 2.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）． A．2 B． C．3 D．4 二、知识要点拓展 一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。 若令，则（*）式可改写为 。 二．导数的几何意义： 函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。 三．基本求导法则： ①； ②，（为常数）； ③； ④反函数导数 ； ⑤复合函数导数 。 四．基本初等函数导数公式 ①（为常数）； ②（为任何实数）； ③，， ，， ，； ④， ； ⑤； ⑥。 五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。 一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数. 六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。 七.不定积分的性质： ①； ②， ③， ④。 八．常见积分公式 ， ， ， ， ， ， ， ， 。 九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。 三、典例精讲 例1．已知在处可导，且，求下列极限： （1）； （2） ►分析：在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式。利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 ►解答：（1） （2） 练习1：若函数在区间内可导，且则 的值为（ ） A． B． C． D． ►答案：B ►解答： 练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。 ►答案： ►解答：由导数定义知 。 例2．求函数的导数。 ►解答： 练习3.,若,则的值等于（ ） A． B． C． D． ►答案：D ►解答： 例3．函数的导数为_________________； ►解答： 例4．求函数的导数。 ►解答： 。 例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。 ►解答：若为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： 例6．求证下列不等式 （1） （相减） （2） （相除） （3） ►证明：（1） ∴ 为上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．已知函数，， （1）证明：当时，恒有 （2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围; ►解答：（1）设，则= ， 当时，，所以函数在（0，单调递增，又 在处连续，所以，即， 所以。 （2）设， 则在（0，恒大于0，， ， 的根为0和 即在区间（0，上，的根为0和 若，则在单调递减， 且，与在（0， 恒大于0矛盾； 若，在（0，单调递增， 且，满足题设条件，所以，所以。 例8．利用导数求和： （1）； （2）。 ►分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 ►解答：（1）当时，； 当时，， 两边都是关于的函数，求导得： 即 （2）∵， 两边都是关于的函数，求导得。 令得： ，即。 例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数，都有； （3）记（），求数列的前项和。 ►解答：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根， ∴； （2），=， ∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号）， ∴同，样，……，（）， （3）， 而，即，， 同理，，又 ∴ 四、真题训练 1.若，则（