专题3：不等式性质与证明-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题3不等式性质与证明 1、 真题特点分析: 1.【2020中科大11.】已知,证明:当时,不等式成立,且当时,该不等式不成立. 2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根,则( ) A. B. C. D. ,,成等差数列 解析:根据对称性可选ABC 二、知识要点拓展 1. 作差比较与作商比较法 作差比较: 作商比较法: 注:作完差之后,我们一般采用配方或因式分解 只有正数的比较大小我们才会采用作商比较 2. 逐步调整法 特征:变量的个数大等于三个; 变量之间满足对称性; 等号在相等或极端值时取到。 注:逐步调整法可以和反证法相结合;这样步骤显得更精简些。 3.绝对值不等式 公式: 等号成立条件:A与B同号或异号时取到 注:不等式中加减号的选取依照具体题目的特点而定,关键是削去变量。 不等式中的等号成立条件一定要牢固掌握 不等式可以从两个进行推广 4.构造法与放缩法 构造法:一般我们可以构造函数,三角形或四边形来解决不等式的证明问题;这些问题需要我们丰富的联想和扎时的基础。 放缩法:一般运用在多变量求和的不等式中,许多式子在没有放缩时是无法求和的,经常是需要放缩之后,通过裂项相削来求和。所以,这类题目经常和数列结合在一起考。 5.不等式的衍生问题 不等式经常和函数,数列等内容结合在一起考,属于比较重要和综合的考点;这更要求我们在打牢基础的同时,积极思考,注意类比和推广,这样才能掌握好这块内容。 三、应试技巧和准备策略 强基计划中涉及到不等式的问题主要分为三类:不等式的证明、解不等式、不等式的应用,其中“不等式的证明”是难点。 证明不等式没有固定的程序,证法因题而异,而且灵活多样、技巧性强,一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有: 反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法(如构造函数、构造图形)等。 四、例题精讲 例1.(复旦)设有集合, 满足,则实数的取值范围是( )。 (A) (B) (C) (D) ►答案B ►分析与解答:先解不等式或解得: 即;再解不等式或 或,或 若,则T:不满足条件;若,则T:或满足条件;若, T:或满足条件;若,则T:满足条件;若,则T:或满足条件。综上,。 例2.(复旦)设实数,且满足,则函数的最大值是( )。 (A) (B) (C) (D) ►答案C ►分析与解答:由于,,所以, ,当且仅当时取等号。 例3.(同济)求证:对于任何实数,三个数中至少有一个不小于。 ►分析与解答: 解法一:用反证法。 若,则 ① ② ③ 由①+②得:。由③得:,矛盾! 解法二:由绝对值不等式性质,得, 故中至少有一个不小于。 例4.(清华),数列满足,且。 (1) 求的通项; (2) 求证:。 ►分析与解答: (1),,所以,,所以 。令,。 ,。 (2)。 时由均值不等式 。所以。注意到单调递增,且 。所以。 例5.(清华)如图:,且,求面积的最大值。(原题为选择题) ►分析与解答: 连结, 。 等号成立时,,即。 例6.(复旦)设,则有性质( ) (A) 对任何实数,总是大于0 (B) 对任何实数,总是小于0 (C) 当时, (D) 以上均不对 ►分析与解答: 解法一:注意到含的偶次方幂的项,其系数为正;含的奇次方幂的项,其系数为负,故时, 显然成立。 再注意到对,而,故当时,也成立。 最后当时,, 故仍成立。 综上,对,,选。 解法二:配方法 。 注:配方法是最基本的方法,尤其在证明时常用。 例7.设,且,求证 ►分析与解答: ,也即 ,因此 。 例8.(北大)求的最小值。 ►分析与解答: 首先设,。则由绝对值的几何意义知,为奇数时,当时,有最小值;为偶数时,当任何值时,有最小值。 回到原题, ,共有: 个点。设 。 因为。 现在求和的值。设,则, 。 可得。且,故时,的值最小。 例9.已知,且,求的最小值。 ►分析与解答: 方法(一)利用,再用基本不等式即可证明。 方法(二)设,故有。 。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”, 即,代入,解得,此时,故的最小值为36。 例10.(清华)已知实数,,,当取到最大值时,有多少个-6? ►分析与解答: 设,则,且,。 于是原问题转化为当取最大值时,有几个。 当中有不少于两个数,且同时不等于0,不等于16时,设为。 ①时,则 (看作一个关于的一次函数,,单调递减)。 即,故不改变其他数字,用16代替,代替,增大; ②时,则。故用0代替,代替,增大。 综上,当取最大值时,至多只有一个,且。 而,故中应取6个16,1个14,3个0,即有3个-6. 五、真题精练 1.(复旦)若实数满足:对任意正数,均有,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)不能确定 2.(复旦)设为非负实数,且满足方程,则的