专题1：集合与简易逻辑-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题1集合与简易逻辑 1、 真题特点分析: 1. 突出对思维能力的考查。 例1.【2020年武汉大学9】设A是集合的子集,只含有3个元素,且不含相邻的整数,则这种子集A的个数为( ) A. 32 B. 56 C. 72 D. 84 答案:B进行分类讨论 例2.【2020 年清华大学】已知集合,且,则有序集合组的个数是( ). A. B. C. D. 答案:C 例3.【北大】已知求证: 【解析】不等式;柯西不等式或平均不等式. 法一:不等式.调和平均值, 则, 可得, 上述两式相加得, 即,即 法二:由及要证的结论分析,由柯西不等式得, 从而可设,且从而本题也即证 从而,即, 假设原式不成立,即则 从而,矛盾.得证. 2.注重和解题技巧,考查学生应用知识解决问题的能力。 例4.【北大】10、已知实系数二次函数与和有两重根,有两相异实根,求证:没有实根. 【解析】设 则由,可得 由可得 化简得即又 没有实根. 二、应试和准备策略 1. 注意知识点的全面 数学题目被猜中的可能性很小,一般知识点都是靠平时积累,因此,要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。 2. 注意适当补充一点超纲内容 如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题,如矩阵,行列式等也不可忽视。 3. 适当做近几年的自主招生的真题 俗话说,知己知彼,百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的强基计划和高校自主招生的试题,熟悉一下题型和套路还是有益的。 总之,同学们若是注意一些知识点的延伸和加深,考试时必定会有一种居高临下的感觉。 三、知识要点拓展 1、 知识补充:容斥原理 基本公式:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C) 问题:开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 解:设A={参加游泳比赛的同学},B={参加田径比赛的同学},C={参加球类比赛的同学},则card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0,由公式②得28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人,而只参加游泳比赛的人有15-3-3=9(人) 二.抽 屉 原 理 抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。 证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1个元素,从而n个集合至多有n个元素,此与共有n+1个元素矛盾,故命题成立。 例1. 已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图1)。证明:至少有两个点之间的距离不大于. 分析:5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内(包括边界)有5个点,那么这5个点中一定有距离不大于的两点”,则顺次连接三角形三边中点,即三角形的三条中位线,可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形,则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界),其距离便不大于。 以上结论要由定理“三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证,下面我们就来证明这个定理。 如图2,设BC是△ABC的最大边,P,M是△ABC内(包括边界)任意两点,连接PM,过P分别作AB、BC边的平行线,过M作AC边的平行线,设各平行线交点为P、Q、N,那么∠PQN=∠C,∠QNP=∠A 因为BC≥AB,所以∠A≥∠C,则∠QNP≥∠PQN,而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN(三角形的外角大于不相邻的内角),所以 PQ≥PM。显然BC≥PQ,故BC≥PM。由此我们可以推知,边长为的等边三角形内(包括边界)两点间的距离不大于。 三、针对性训练 1.对集合{1,2,…,n}及其每一个非空了集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后交替地减或加后继的数所得的结果,例如,集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1,的交替和是2。那么,对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。 解:集合{1,2,3,4,5,6,7}的子集中,除去{7}外还有个非空子集合