专题1 与二次型有关的恒成立与有解问题-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之恒成立与有解问题

专题1 与二次型有关的恒成立与有解问题 一、考情分析 我们把形如的函数称为二次型函数,与二次型函数有关的恒成立或有解问题是高考考查热点与难点,与二次型函数有关的问题一般利用二次函数的性质求解. 二、解题秘籍 (一) 一元二次不等式在R上的恒成立或有解问题 对于二次函数有： 1.上恒成立； 2.上恒成立； 3.有解或. 特别提醒：对于形如的不等式恒成立问题,不要忽略的情况. 【例1】（2022届山西省长治市高三上学期练考）若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论,结合二次函数的图象和性质求解. 【解析】当时,,不符合题意,所以舍去； 当时,由题得且,所以. 综上：.故选C (二) 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 对于二次函数有： 1.当时,若上恒成立 , 若上恒成立. 2.当时,若上恒成立 若上恒成立 3.在上有解或. 【例2】设函数,若对于任意的,恒成立,则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】 由已知可得在上恒成立,即,再通过讨论m的范围求出,由此可得m的范围. 【解析】若对于任意的,恒成立, 即可知：在上恒成立, 令, 当时,恒成立, 当时,对称轴为. 当时,有开口向下且在上单调递减, 在上,得,故有. 当时,有开口向上且在上单调递增, 在上, ∴, 综上,实数的取值范围为 (三)形如 的不等式恒成立问题 形如的不等式恒成立问题,可设,转化为一元二次不等式,但要注意的范围. 【例3】若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】把不等式转化为关于的一元二次不等式. 【解析】, 当时取得最小值,所以实数a的取值范围是. (四)分离参数法求解方程有解问题 求解含有参数a的一元二次方程有解问题,若能把参数a分离出来,转化为,则的值域就是a的范围. 【例4】关于x的方程有解,则a的取值范围是 【答案】 【分析】把问题转化为有解 【解析】由可得,方程有解,则的值域就是a的范围,因为,所以,故则a的取值范围是. 三、跟踪检测 1. 若命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 关于的不等式对恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C．或 D．或 3.关于x的不等式的解集是,则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4.已知命题：,；：,,若为假命题,为假命题,则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.（2022届宁夏银川高三上学期月考）若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.若不等式对一切恒成立,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立,且,则的最小值为________ 8.（2022届四川省雅安市高三质量监测）已知关于的方程在上有实数根,且满足,则的最大值是___________. 9.（2022届四川省成都市高三上学期期中）若不等式对恒成立,则实数的取值范围是_______________________． 10．已知不等式,若对任意及,该不等式恒成立,则实数的范围是___________. 11.（2021届浙江省“山水联盟”高三上学期开学考）若对恒成立,则实数的取值范围为______. 12．设,不等式对所有的成立,则的最大值是______. 13．已知函数,若对于任意的实数,,,时,恒成立,则实数的取值范围为______. 14．若且时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为________． 15.已知任意,若存在实数b使不等式对任意的恒成立,则b的最小值为_________. 16．已知函数,若对于任意,均有,则的最大值是___________. 17.函数, （1）若函数在,上存在零点,求的取值范围； （2）设函数,,当时,若对任意的,,总存在,,使得,求的取值范围． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究！ $专题1 与二次型有关的恒成立与有解问题 一、考情分析 我们把形如的函数称为二次型函数,与二次型函数有关的恒成立或有解问题是高考考查热点与难点,与二次型函数有关的问题一般利用二次函数的性质求解. 二、解题秘籍 (一) 一元二次不等式在R上的恒成立或有解问题 对于二次函数有： 1.上恒成立； 2.上恒成立； 3.有解或. 特别提醒：对于形如的不等式恒成立问题,不要忽略的情况. 【例1】（2022届山西省长治市高三上学期练考）若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论,结合二次函数