专题10 数列求和问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题10 数列求和问题 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 典例1．（2021秋•金安区校级期末）设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣7，S5＝﹣15，且是等差数列．则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|的值为 　52　． 【分析】设等差数列的公差为d，可得7+4d＝﹣3，解得d，利用通项公式可得Sn，再利用n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，可得an，通过对n分类讨论即可得出结论． 【解答】解：设等差数列的公差为d，则7+4d＝﹣3，解得d＝1； ∴7+n﹣1＝n﹣8，化为Sn＝n2﹣8n， n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣8n﹣[（n﹣1）2﹣8（n﹣1）]＝2n﹣9， n＝1时上式也成立． ∴an＝2n﹣9， n≤4时，an＜0；n＞4时，an＞0． ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|＝﹣（a1+a2+a3+a4）+（a5+……+a10）＝S10﹣2S4＝（102﹣8×10）﹣2（42﹣8×4）＝52． 故答案为：52． 典例2．（2021秋•绿园区校级期末）已知数列{an}满足a1＝2，，则数列{an}前2021项和为（　　） A．﹣1011 B．﹣1010 C．1011 D．1012 【分析】依题意，可得奇数项a1，a3，....，a2021是以2为首项，2为公差的等差数列；偶数项a2，a4，....，a2020构成以﹣3为首项，﹣2为公差的等差数列，分别求和可得答案． 【解答】解：∵a1＝2，，① ∴（n≥2），② ①﹣②得：（n≥2），③ ∴当n为偶数时，奇数项a1，a3，....，a2021构成以2为首项，2为公差的等差数列； 又a1+a2＝﹣1⇒a2＝﹣3， 当n为奇数时，偶数项a2，a4，....，a2020构成以﹣3为首项，﹣2为公差的等差数列； ∴S2021＝（a1+a3+⋅⋅⋅a2021）+（a2+a4+⋅⋅⋅a2020） ＝1011a12+1010a2（﹣2） ＝1011×2+1011×1010﹣3×1010﹣1010×1009 ＝1012， 故选：D． 常见类型：（1）数列an为等差数列，公差为d，则； 例如：；()； （2）；（3） 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 典例1．（2021秋•叙州区期末）已知数列{an}前n项的平均数等于2n+1，其中n∈N*，则数列的前2020项和等于（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得2n+1，即a1+a2+…+an＝n（2n+1），进而得出：an，利用裂项求和方法即可得出结论． 【解答】解：由题意可得2n+1， ∴a1+a2+…+an＝n（2n+1）， n≥2时，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）（2n﹣1）， 相减可得：an＝4n﹣1， n＝1时，a1＝3，对于上式也成立． ∴an＝4n﹣1， ∴， ∴数列的前2020项和＝11． 故选：B． 典例2．（2021秋•溧阳市期末）已知数列{an}满足，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由，可得，利用裂项求和方法即可得出． 【解答】解：∵，， ∴11， 故选：B． 适用类型：等差等比 解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式； 第三步 构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差； 第四步 求和：根据差式的特征准确求和. 典例1．（2021秋•昌江区校级期末）已知数列{an}满足a1＝1，． （1）求证数列是等差数列，并求{an}通项公式； （2）已知数列的前n项和为Sn，求Sn． 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的变换和等差数列的定义的应用求出数列是等差数列，进一步求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和． 【解答】证明：（1）数列{an}满足a1＝1，， 所以，整理得； 故（常数）； 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列； 故， 故． 解：（2）由（1）得：； 所以①； ②； ①﹣②得：； 整理得． 典例2．（2022•淮北一模）已知数