6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 新知探索 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法来研究这个问题. 问题导入 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？ 思考1：在中，三个角所对的边分别是，，，怎样用，和表示？ 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究. 新知探索 如图，设，，，那么. ① 我们的研究目标是用和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量(即)与其自身作数量积运算. 由①得, . 所以. 同理可得， . 新知探索 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理： 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ， ， . 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 问题导入 思考2：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ 由余弦定理，可以得到如下推论： ，， 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角. 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 余弦定理及其推论把用“”和“”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 问题导入 思考3：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？ 如果中有一个角是直角，例如，，这时.由余弦定理可得，这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例析 例5.在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 例析 例6.在中，，，锐角满足，求(精确到). 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 新知探索 辨析1：判断正误. (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形.（ ） (2)在中，若，则一定为钝角三角形. （ ） (3)在中，已知两边和其夹角时，不唯一. （ ） 答案：√，√，×. 辨析2：在中，已知，则等于（ ）. A. B. C. D. 答案：C. 练习 题型一：已知两边和一角解三角形 例1.在中， (1)若，，，求及. 解(1)：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 练习 例1.在中， (2)若，，，求，. 解(2)：由余弦定理，得: =， ∴即 由解得或 练习 变1.若，，，求角和边. 解：由余弦定理 ， 得， 即 ∴或 当时，由 可得 当时，同理得 练习 方法技巧： 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 练习 题型二：已知三边解三角形 例2.在中，已知，，，求. 解：根据余弦定理，得 ∵∴. 又 ∵∴. ∴. ∴，. 练习