第08讲 几何背景下的母子型相似三角形（2022徐汇、虹口、长宁一模25题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第8讲几何背景下的母子型相似三角形 -（2022徐汇、虹口、长宁一模25题解法分析+经典变式练） 解题思路： （1） 寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角（一个公共角）； （2） 计算或表示出夹此两角的四条边（一条公共边）； （3） 根据比例关系列出方程，解出未知边的长度等要求，并代回验证． 例1.（2022徐汇一模25题）如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． （1）当点D是边AC中点时，求的值； （2）求证：； （3）当时，求．   【小问1详解】解：过D作DH⊥AB于H， 在中，，，设，， ∴， ∵D为AC中点，∴AD= AC= ，∴， ∴， 在Rt△AHD中，， ∴BH=AB－AH= －= ， 在Rt△BHD中，； 【小问2详解】证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴， ∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即； 【小问3详解】解：由可设，，则DF=4k， ∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴， ∴，又∠F=90°， ∴， ， ∵△DEB∽△ADB，∴即， ∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3． 例2.（2022虹口一模25题）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，点 D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点 F． （1）当点E在线段AB上时，求证：＝； （2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．    【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°， ∴△ADF∽△ABC，∴，∴； （2）解：∵∠ACB＝90°，tanB＝，∴tanB＝＝， 设AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102， ∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝， 由（1）得，∴，∴y＝， 当x＝0时，此时DE⊥AB，由S△ABC＝得，10•DE＝6×8， ∴DE＝，∴x＞； （3）解：如图1， 当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N， ∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝， ∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD， ∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM， 由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，， ∴16•CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3． 如图2， 当G点在AC的延长线上时，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF， ∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴这种情形不存在，∴CD＝3． 例3（2022长宁一模25题）已知, 在 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 ． （1）如图 1, 如果 , 求 的值； （2）联结, 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）当点在边上时, 联结, 求线段的长． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C， ∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8； ∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED， ∴，∴． （2）∵ 是以为腰的等腰三角形，∴AE＝OE， ∵OC＝OE，∴设AE＝OE＝OC=x， 由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴， 解得，，经检验，是原方程的解；则的长是为． （3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°， ∴A、B、O、E四点共圆，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴， ∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴， 设OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴， 解得，，∴∴， 解得，，（舍去），则的长是为． 1.【2021松江二模】如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE． （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）求证：AB2＝BG•BC； （3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值． 【分析】（1）由题目条件可证得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），进而可推出AF＝FE＝E