第07讲 几何图形背景下的相似三角形的存在性（2022金山、杨浦、普陀、松江、黄浦一模25题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第7讲 几何图形背景下的相似三角形的存在性 -（2022金山、杨浦、普陀、松江一模25题解法分析+经典变式练） 本节压轴题解题的基本解题步骤 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 二、求解函数关系式 三．当两个三角形相似时： 1.两个三角形中是否有恒相等的角？ 2.是否需要分类讨论？ 教学重难点 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例1.（2022金山一模25题）.已知：如图 11，AD⊥直线 MN，垂足为 D，AD=8，点 B 是射线 DM 上的一个动点，∠BAC=90°，边 AC 交射线 DN 于点 C，∠ABC 的平分线分别与 AD、AC 相交于点 E、F. （1） 求证：△ABE∽△CBF； （2） 如果 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3） 联结 DF，如果以点 D、E、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求 AE 的长. 解：（1）∵AD⊥直线MN，∠BAC=90°，∴∠BAD +∠ABD = 90°， ∠BCF+∠ABD = 90°， ∴∠BAD =∠BCF……………………………………………………………………………（1分） ∵BF平分∠ABC，∴∠ABE =∠CBF………………………………………………………（1分） ∴△ABE∽△CBF. …………………………………………………………………………（1分） （2）作FH⊥BC垂足为点H. ∵△ABE∽△CBF，∴∠AEB=∠CFB，∵∠AEB+∠AEF=180°，∠CFB+∠CFE=180° ∴∠AEF=∠CFE，∴AE=AF=x；…………………………………………………………（1分） ∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，∠BAC=90°，∴AF=FH=x. ∵FH⊥BC，AD⊥直线MN，∴FH∥AD，∴，即，…………（2分） 解得：（）……………………………………………………………（2分） （3）设AE=x，由△ABE∽△CBF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与△ABE相似. ∵∠AEB=∠DEF， 如果∠BAE=∠FDE，得DF∥AB，∴∠ABE=∠DFE， ∵∠ABE=∠DBE, ∴∠DBE=∠DFE，∴BD=DF, ………………………………………（1分） 由DF∥AB，得∠DFC=∠BAC=90°，∴∠DFC=∠ABD=90°， 又∠BAD =∠BCF，∴△ABD≌△CDF，…………………………………………………（1分） CF=AD=8，即， 解得：（舍去负值），∴.…………………………（1分） 如果∠BAE=∠DFE，得，∵∠ABF=∠BED，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE=∠BDE， 因为∠AFE是锐角，∠BDE是直角，所以这种情况不成立。…………………………（2分） 综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，AE的长为.（1分 例2.（2022杨浦一模25题） 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F． （1）当点D在边AB上时， ①求证：∠AFC＝45°； ②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长； （2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值． 【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE， ∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF， 设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α， ∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α， ∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°； ②如图2，连接BE，CE， ∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE， 由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°， ∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°， ∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG， ∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°， 过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形， ∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°， ∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD， ∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5， ∴线段BD的长为5﹣5； （2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作