第十七章 小专题(四) 利用勾股定理解决最短路径问题（配套word）2021-2022学年八年级下册初二数学【课时A计划】人教版（安徽）

小专题(四)　利用勾股定理解决最短路径问题 ——教材P39复习题17第12题的变式训练 【教材原题呈现】 如图,圆柱的底面半径为6 cm,高为10 cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是多少厘米(结果保留小数点后一位)? 变式1　圆柱表面的最短路径问题 1.如图,圆柱的高AB=6,底面直径BC=6,现在有一只蚂蚁想要从点A处沿圆柱表面爬到对角点C处捕食,则它爬行的最短距离是( A ) A.3 B.6 C.3 D.12 2.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成,中间可供滑行部分的截面是半径为4 m的半圆,其边缘AB=CD=20 m,点E在CD上,CE=4 m.某滑行爱好者从点A滑行到点E,则他滑行的最短距离为　20　m.(π的值取3)  3.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm.在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　13　cm.  4.我国古代有这样一道数学问题:枯木一根直立地上,高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,该圆柱的高为20尺(1丈是十尺),底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上.若绕五周后其末端恰好到达点B处,求葛藤的最短长度. 解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=20,AC=5×3=15, ∴AB==25(尺). 答:葛藤的最短长度为25尺. 变式2　直棱柱表面的最短路径问题 5.如图,桌面上的长方体长为8,宽为6,高为4,B为CD的中点.一只蚂蚁从点A出发沿长方体的表面到达点B,则它运动的最短路程为( C ) A.2 B.4 C.10 D.3 第5题图 第6题图 6.如图,有一个棱长为4 dm的正方体盒子,现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳,使线绳经过ABFE,BCGF,EFGH,CDHG四个面,则所需捆绑线绳的长至少为　4　dm.  7.如图,在一个长为8 cm,宽为5 cm的长方形草地上,放着一根长方体的木块,它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD,木块从正面看是边长为2 cm的正方形,则一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是　13 cm　.  8.如图,一个透明的长方体玻璃鱼缸,长AD=80 cm,高AB=60 cm,水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG=60 cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑. (1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短?请你画出它爬行的路线,并用箭头标注. (2)蚂蚁爬行的最短路线长为　100　cm.  解:(1)图略,作点A关于BC的对称点A',连接A'G交BC于点Q,连接AQ,蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时,路程最短. 9.如图,长方体的长BE=30 cm,宽AB=20 cm,高AD=40 cm,点M在CH上,且CM=10 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少? 解:如图1,在Rt△ADM中,AM==50(cm); 如图2,在Rt△ABM中,AM=(cm); 如图3,在Rt△AMC中,AM=(cm). ∵50＜10, ∴蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是50 cm. 变式3　阶梯表面的最短路径问题 10.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55 cm,10 cm,6 cm,A,B是这个台阶的两个相对的端点.A点处有一只蚂蚁,那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少? 解:如图所示,将这个台阶展开成一个平面图形,则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长. 在Rt△ABC中,BC=55 cm,AC=10×3+6×3=48(cm), 由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=5329, 解得AB=73. 答:这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73 cm. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $