第十七章 勾股定理 章末小结与提升（配套word）2021-2022学年八年级下册初二数学【课时A计划】人教版（安徽）

章末小结与提升 类型1　勾股定理及其应用 1.现将一支长为16的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个底面长和宽分别为8,6的长方体水槽中,若使水完全淹没筷子,则水槽中的水深至少为( C ) A.8 B.16 C.2 D.8 第1题图 第2题图 2.如图,长、宽、高分别为2,1,1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B,则它爬行的最短路程是( C ) A. B. C.2 D.3 3.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,过点B作BD⊥BC,且AB=BD=1,连接AD交BC于点E.若CE=6BE,则AC= 　.  4.如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长,那么称这个三角形为“有趣三角形”,这条中线称为“有趣中线”.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,一条直角边为3.如果Rt△ABC是“有趣三角形”,那么这个三角形“有趣中线”的长等于　3或2　.  5.如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人,在平坦的操场上进行行走展示.输入指令后,机器人从出发点A先向东走10米,又向南走40米,再向西走20米,又向南走40米,再向东走70米到达点B后停止.求终点B与出发点A的距离AB. 解:过点A作AC⊥MB于点C. 在Rt△ABC中,AC=40+40=80,BC=70－20+10=60, ∴AB==100(米). 答:终点B与出发点A的距离AB的长为100米. 类型2　勾股定理的逆定理及其应用 6.在△ABC中,若a=m2－n2,b=2mn,c=m2+n2,则△ABC是( D ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 7.若9,a,41是一组勾股数,则a=　40　.  8.如图,E,F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,CE=BC,F为CD的中点,连接AF,AE,EF.请判断△AEF的形状,并说明理由. 解:△AEF是直角三角形. 理由:设AB=4a,则DF=FC=2a,CE=a,BE=3a. 根据勾股定理,得EF==5a. ∵EF2+AF2=5a2+20a2=25a2=AE2, ∴△AEF是直角三角形. 9.如图,在△ABC中,D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,交AC于点E,且AE2－CE2=BC2. (1)证明:∠C=90°; (2)若DE=6,BD=8,求CE的长. 解:(1)连接BE. ∵D是AB边的中点,DE⊥AB,∴AE=BE. 又∵AE2－CE2=BC2, ∴BE2－CE2=BC2,即CE2+BC2=BE2, ∴△BCE是直角三角形,且∠C=90°. (2)在Rt△BDE中,BE==10, ∴AE=BE=10. 设CE=x,则AC=10+x,AB=2BD=16. 在Rt△ABC中,BC2=AB2－AC2=162－(10+x)2, 在Rt△BCE中,BC2=BE2－CE2=102－x2, ∴162－(10+x)2=102－x2,解得x=2.8, ∴CE的长为2.8. 10.把三根长度分别为3 cm,4 cm和5 cm的细木棒首尾相连,能搭成一个直角三角形. (1)如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍(a>1),那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形,为什么? (2)如果把这三根细木棒的长度分别延长x cm(x>0),那么所得的三根细木棒还能搭成一个三角形吗?为什么?如果能,请判断这个三角形的形状(锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形),并说明理由. 解:(1)可以搭成一个直角三角形. 理由:∵(3a)2+(4a)2=9a2+16a2=25a2,(5a)2=25a2, ∴(3a)2+(4a)2=(5a)2, ∴这个三角形是直角三角形. (2)∵3+x+4+x>5+x(x>0), ∴三根细木棒还能搭成一个三角形. ∵(3+x)2+(4+x)2=2x2+14x+25,(5+x)2=x2+10x+25, ∴(3+x)2+(4+x)2>(5+x)2, ∴这个三角形是锐角三角形. 　　勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一种证明.直角三角形中两直角边(即“勾”“股”)边长的平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方.目前发现了大约400种勾股定理的证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一. 1.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题:平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女家人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离PA的长为1尺,将它向前水平推送10尺时,即P'C=10尺,秋千