专题05 复杂背景下数列的通项求法-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

复杂背景下数列的通项求法 【基础诊断】 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝________. 【答案】 n·2n 【解析】 Sn＝2an－2n＝2(Sn－Sn－1)－2n，整理得Sn－2Sn－1＝2n，等式两边同时除以2n，得－＝1，又S1＝2a1－2＝a1，可得a1＝S1＝2，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，所以Sn＝n·2n. 2. （2007·山东·高考真题（理））设数列满足则数列的通项为 【答案】 【解析】 验证时也满足上式， 【范例导航】 【考向一】隔项成等差（比）求通项 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1,2Sn＝anan＋1.求数列{an}的通项公式； 【解答】 由2Sn＝anan＋1，① 当n≥2时，2Sn－1＝an－1an，② 由①－②得2an＝an(an＋1－an－1)， 显然an≠0，所以an＋1－an－1＝2， 所以{an}的奇数项与偶数项各自成等差数列，a1＝1，a2＝2， 则a2n－1＝1＋2(n－1)＝2n－1，a2n＝2＋2(n－1)＝2n， 所以an＝n. 【真题演练】 1.（2015·天津·高考真题（理））已知数列满足，且成等差数列.求的值及的通项公式. 【答案】 ， 【解析】由已知，有，即， 所以，又因为，故，由，得， 当时，， 当时，， 所以的通项公式为 2.（2021全国Ⅰ卷17）已知数列满足， 记，写出，，并求数列的通项公式； 【答案】； 【解析】 【分析】根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项. 【详解】由题设可得 又，， 故即即 所以为等差数列，故. 【考向二】退（进）位相减（）法求通项 1.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】 （1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知       ① 于是．            ② 由①②得．        ③ 又，            ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：    由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法    由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）[方法一]： 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【真题演练】 1.（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且. 求数列的通项； 【答案】； 【解析】 当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； 2.（2013·广东·高考真题（文））设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列． (1) 证明：； (2) 求数列的通项公式； 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【详解】 试题分析：（1）令，，即可证明；（2）由得到，解得，再进而验证，即可求解数列的通项公式；（3）对于一切正整数，有，即可证明结论． 试题解析：（1）令，，∴． （2），① 时，，② ①②：，整理得， ，∴，即，解得， ，，又，可得， 综上：． 【考向三】构造新数列成等差（比）求通项 1.(2021·南平二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列． (2) (2021·青岛二模)已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，求bn. 【答案】(1)证明略 (2)bn＝. （1）【解答】 因为Sn＋n＝2an(n∈N*)，① 当n＝1时，a1＋1＝2a1，得a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＋n－1＝2an－1，② 由①②两式相减得an＝2an－1＋1(n≥2)， 即an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)， 所以数列{an＋1}是以2为公比，2为首项的等比数列． （2）【解答】 因为an＋bn＝1，bn＋1＝，