精品解析：河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期末数学（理）试题

2021年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（理） 一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6 2. 若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知函数，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为0，最小值为 D. 最大值为0，最小值为 5. 在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题已知条件，戊有（ ） A. 107钱 B. 102钱 C. 101钱 D. 94钱 6. 已知三棱锥P-BCD，，其余各棱长均为4，E为棱PB的中点，则三棱锥E-PCD的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8 （ ） A. B. C. D. 9. 2021年8月17日，国家发改委印发《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ） A. 15种 B. 16种 C. 17种 D. 18种 10. 已知函数，则当时，函数一定有（ ） A. 极大值，且极大值为 B. 极小值，且极小值为 C. 极大值，且极大值为0 D. 极小值，且极小值为0 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，，若，则向量与的夹角是___________. 14. 设抛物线上一点P到其焦点F的距离为，O为坐标原点，则△POF的面积为___________. 15. 某空间几何体的三视图如图所示（图中已标数据），则该几何体的外接球表面积为___________. 16. 已知函数，若对任意，恒有成立，则实数m的取值范围是___________. 三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40. （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差. ①求； ②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率. 参考数据：若，则，，，，，. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，平面底面ABCD，，，，，E是PD的中点. （1）求证：底面ABCD； （2）求二面角B-AC-E的余弦值. 19. 在中，. （1）求A； （2）若的内切圆半径，求的最小值. 20. 已知圆O：. （1）求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）. （2）已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点. 21 已知函数，其中. （1）讨论函数在上的单调性； （2）证明：. 22. 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D. （1）求曲线E的普通方程及极坐标方程； （2）求证：为定值.