2.2不等式的性质(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

2.2不等式的性质 不等式的基本性质 不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c 不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或). 不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或). 注意: 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点: (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会. (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变. 题型1:利用不等式的性质判定正误 1.如果a>b,那么下列结论一定正确的是( ) A.a﹣3<b﹣3 B.> C.a+3<b+3 D.﹣3a>﹣3b 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【解答】解:A.∵a>b, ∴a﹣3>b﹣3,故本选项不符合题意; B.∵a>b, ∴,故本选项符合题意; C.∵a>b, ∴a+3>b+3,故本选项不符合题意; D.∵a>b, ∴﹣3a<﹣3b,故本选项不符合题意; 故选:B. 【变式1-1】已知a<b,则( ) A.a+1<b+2 B.a﹣1>b﹣2 C.ac<bc D.>(c≠0) 【分析】根据a<b,应用不等式的基本性质,逐项判断即可. 【解答】解:A.∵a<b, ∴a+1<b+2,故本选项符合题意; B.不妨设a=1,b=2, 则a﹣1=b﹣2,故本选项不合题意; C.不妨设c=0, 则ac=bc,故本选项不合题意; D.不妨设c=2, 则,故本选项不合题意; 故选:A 【变式1-2】以下是两位同学在复习不等式过程中的对话: 小明说:不等式a>2a永远都不会成立,因为如果在这个不等式两边同时除以a,就会出现1>2这样的错误结论! 小丽说:如果a>b,c>d,那么一定会得出a﹣c>b﹣d. 你认为小明的说法 不正确 (填“正确”、“不正确”);小丽的说法 不正确 (填“正确”、“不正确”),并选择其中一个人判断阐述你的理由(若认为正确,则进行证明;若认为不正确,则给出反例). 【分析】根据不等式的性质进行解答. 【解答】解:这种说法不对.理由如下: ①小明的说法: 当a<0时,由1<2得a>2a. 故小明的说法不正确; ②小丽的说法: 设a=2,b=1,c=3,d=﹣3, 则符合题设条件, 此时a﹣c<b﹣d, 故小丽的说法不正确; 故答案是:不正确;不正确. 题型2:利用不等式确定字母的取值范围 2.已知x>1,x+a=1,则a的取值范围是( ) A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0 【分析】根据已知得出a=1﹣x,再根据x>1即可得出答案. 【解答】解:∵x+a=1, ∴a=1﹣x, ∵x>1, ∴a<0. 故选:A. 【变式2-1】若x<y,且(6﹣a)x>(6﹣a)y,则a的取值范围是 a>6 . 【分析】根据不等式的基本性质,发现不等式的两边都乘(6﹣a)后,不等号的方向改变了,说明(6﹣a)是负数,从而得出答案. 【解答】解:根据题意得:6﹣a<0, ∴a>6, 故答案为:a>6. 【变式2-2】若x<y,且(a﹣3)x≥(a﹣3)y,则a的取值范围是 a≤3 . 【分析】根据不等式的性质,可得答案. 【解答】解:由不等号的方向改变,得 a﹣3≤0, 解得a≤3, 故答案为:a≤3. 题型3:利用不等式的性质将不等式变形 3.根据不等式的性质,把下列不等式化成x>a或x<a的形式. (1)x+7>9; (2)6x<5x﹣3; (3); (4)﹣. 【分析】(1)根据不等式的性质(不等式两边减去同一个数,不等号方向不变)解决此题. (2)根据不等式的性质(不等式两边加上同一个数,不等号方向不变;不等式两边同时除以一个不为0的数,不等号方向不变)解决此题. (3)根据不等式的性质(不等式两边同乘一个不为0的数,不等号方向不变)解决此题. (4)根据不等式的性质(不等式两边同时乘或除不为0的正数,不等号方向不变;不等式两边同乘或除不为0的负数,不等号方向不变)解决此题. 【解答】解:(1)∵x+7>9, ∴x>2. (2)∵6x<5x﹣3, ∴6x﹣5x<﹣3. ∴x<﹣3. (3)∵, ∴. ∴x<2. (4)∵﹣, ∴﹣2x>﹣3. ∴x<. 【变式3-1】根据要求,回答下列问题: (1)由2x>x﹣,得2x﹣x>﹣,其依据是 不等式的基本性质1 ; (2)由x>x﹣,得2x>6x﹣3,其依据是 不等式的