专题08 立体几何中的给角求角（其它）-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

知角求角（其它） 【基础诊断】 如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，底面ABCD，，，，． 1求证：平面平面PBC； 2设H为CD上一点，满足，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（I）由，可得， 又 从而，底面， ，平面所以平面平面. （II）由（I）可知为与底面所成角. 所以，所以 又及，可得, 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量. 则由得取 同理平面的法向量为 所以 又二面角为锐角.所以二面角余弦值为. 【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 【范例导航】 【考向一】知角求角 1.（2022·山东日照·一模）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，，，，，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为. (1)在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由； (2)若二面角P—CD—A的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 【答案】(1)在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE (2) 【解析】 【分析】 （1）将AB，CD延长交于一点M，先证明CM//BE，利用线面平行的判定定理即可证明CM//平面PBE. （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1) 将AB，CD延长交于一点M，则M在平面PAB内. ∵，BC//AD∴CE//BM且CE=BM， ∴四边形BCDE为平行四边形，∴CM//BE. ∵平面PBE，平面PBE，所以CM//平面PBE. 所以在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE (2) 由已知可得，AD⊥DC，CD⊥PA，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. 所以∠PDA为二面角P—CD—A的平面角，所以∠PDA=30°. 建立如图空间直角坐标系，设AP=2则A(0，0，0)，P(0，0，2)，，，∴，， 设平面PCE的法向量为，由，不妨设x=2，则. 设直线PA与平面PCE所成角为，则， 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为. 【真题演练】 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是． （Ⅰ）证明平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）证明：为正方形，． ，， ， 平面， 平面， 平面平面； （Ⅱ）解：由，， 可得为二面角的平面角； 由为正方形，平面， ， 平面 即有， 可得为二面角的平面角． 可得． ，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ， ， 四边形为等腰梯形． 以为原点，建立如图所示的坐标系，设， 则，0，，，，，，0，，，，， ，，，，，，，0， 设平面的法向量为，，，则， 则，取，0，． 设平面的法向量为，，，则， 则，取，，． 设二面角的大小为，则 ， 则二面角的余弦值为． 【考向二】知角求其它 （北京平谷区2022届高三零模数学试题）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于. (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 (1)先证明线面平行，再由线面平行的性质定理可证； (2)建立空间直角坐标系，用向量法可解； (3)利用比值设点M坐标，然后用向量法可得. (1) 因为矩形，所以， 平面，平面， 所以平面.