第21讲 数列求和-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

专题21 数列求和 方法总结： 1.等差数列求和公式： 2.等比数列求和公式： 3.错位相减法： 特点：等差等比 对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 4.裂项相消： 特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例： 可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加 5.分组求和 （1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可 （2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和 6.倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点， 典型例题： 例1．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到，两式相减求得，进而得到数列是首项为1公比为3的等比数列，即可求解； （2）由题意得到，结合乘公比错位相加法求和，即可求解. (1) 解：因为，所以， 两式相减可得，所以， 令，可得，所以， 所以数列是首项为1公比为3的等比数列，所以. (2) 解：由题意，可得，所以， 所以， ， 两式相减可得 所以. 例2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设的公差为d，首先求出方程的解，即可得到，，即可求出公差，即可得解； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可； (1) 解：设的公差为d，由，解得或， 因为，为方程的两个实根，且单调递增， 所以，，所以 所以，解， 所以， 即的通项公式为． (2) 解：由（1）可得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 例3．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知成等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【解析】 【分析】 (1)根据等差中项的应用可得，利用等比数列的通项公式求出公比进而求出，代入即可； (2)结合(1)可得的通项公式，利用错位相减求和法计算即可得出结果. (1) 成等差数列， ， 是首项为1的等比数列，设其公比为， 则， (2) 由（1）知， ① ② ①-②得，， 例4．（2022·福建福州·高三期末）设数列是首项为1的等差数列，若是，的等比中项，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 (1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答. (2)由(1)结合裂项相消法计算求出作答. (1) 设等差数列的公差为，由是，的等比中项得，即， 因，则，解得，， 所以的通项公式是：. (2) 由(1)知，， 则， 所以数列的前n项的和. 例5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且组成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件，利用的关系，结合等比数列的通项公式，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，求得关于的函数关系式，再求其值域即可证明. (1) ∵组成等差数列，∴，当时可得 ∴，即，又当时，，解得， 故数列是首项为，公比为的等比数列，则. (2) 由（1）可知，故 则 ∵   故， 故，即证. 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列