第20讲 求数列的通项公式-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

专题20 求数列的通项公式 方法总结： 1、累加（累乘法） （1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和 ② 的系数相同，且为作差的形式 （2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式 （1）形如的形式 思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出 （2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题进行转化 （3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式 （4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式 4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。 5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。 6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明 典型例题： 例1．（2022·江苏泰州·高三期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）利用与的关系可得，数列是首项为1，公差为2的等差数列，即求； （2）利用错位相减法即求. (1) ∵， 当时，，解得， 当时，， ∴，即， ∴，即， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴， 故数列的通项公式为. (2) ∵，设数列的前项和为， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴数列的前项和为. 例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有． (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)求使得不等式成立的最大正整数m． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】 【分析】 (1) 由条件可得从而可证明，再根据累加法可求出的通项公式. (2) 由错位相减法求出的表达式，然后再解不等式从而得出答案. (1) 由，得， 所以是等比数列. 所以 从而 所以，． (2) 设 即，所以，， 于是，． 因为，且， 所以，使成立的最大正整数． 例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题． 设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号） (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和项和． 【答案】(1)条件选择见解析，； (2). 【解析】 【分析】 （1）选①：令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； 选②：利用累加法可求得数列的通项公式； 选③：令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. (1) 解：选①：当时，由可得出， 上述两个等式作差得，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故； 选②：由已知可得， 所以，，，，，， 上述个等式相加得， ； 选③：当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得且， 所以，数列数列是以为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 解：，， 所以，， 上述两个等式作差得， 因此，. 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)设数列的通项公式，求； 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）根据数列通项与前项和的关系可求得数列的通项公式，设数列的公差为，根据，是和的等比中项，求得首项与公差，即可求出的通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出答案； （3）利用分组求和法即可求出答案. (1) 解：（1）当时，有，解得， ， ， 两式相减，整理得：， 数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以， 设数列的公差为， ，是和的等比中项，， 即，解得或2， 公差不为0，， 故； (2) 解：， ； (3) 解：，， ∴ ． 例5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为，则，根据