第19讲 等差数列、等比数列的综合问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第19讲 等差数列、等比数列的综合问题 方法总结： 1.等差数列性质与等比数列性质： 等差数列 等比数列 递推公式 通项公式 等差（比）中项 等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列 相邻项和 成等差数列 成等比数列 2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：（等差），（等比） （2）通项公式：（等差），（等比） （3）前项和：（等差），（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 3.如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即，均有： （等差） （等比） 典型例题： 例1．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：． （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和； （3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）7． 【解析】 （1）由所给等式根据的关系证明数列为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列是递增数列，根据题意，解不等式即可. 【详解】 （1）∵，① ∴，② ①-②得． ∴，化简． ∵，∴． ∴是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴． （2）． ∴ ． (3)由(2)知， ． ∴数列是递增数列，则， ∴，解得， ∴整数的最大值是7． 【点睛】 裂项相消求和法适用于通项公式是分式形式的数列求和，求和时把每一项拆成一个或多个分式的差的形式，然后在累加时抵消中间项.常见的拆项公式： （1） ； （2）； （3）； （4）. 例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列各项均为正数，其前n项和，数列是公差为正数的等差数列，且成等比数列 （1）求数列的通项公式; （2）令求数列的前n项和 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 （1）由数列与的关系可得，进而可得，结合等差数列的性质即可得；由等差数列的通项公式结合等比数列的性质可得数列的公差和首项，即可得； （2）转化条件为，利用裂项相消法即可得解. 【详解】 （1）在数列中，， 当时，， 所以， 化简得， 又数列各项均为正数，所以，所以， 因为，解得或（舍去）， 所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列， 所以； 设数列的公差为， 因为，所以， 又成等比数列，所以即， 所以， 所以； （2）由题意，， 所以. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是利用数列与的关系转化条件，求得，要注意裂项相消法的适用条件和使用方法. 例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由题意判断出为等比数列，，，成等差数列，列式求解出，可得的通项公式；（2）得，所以，则前项和利用错位相减法计算即可. 【详解】 解：（1）依题，∴是以为公比的等比数列， 又，，成等差数列. ∴，即，∴， ∴. （2）由（1）得，设， ① ② ①-②：， ∴. 【点睛】 本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2），． 【解析】 【分析】 (1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列； (2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果． 【详解】 (1)由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列，． (2)由(1)可知，，， 所以，． 【点睛】 本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，对任意且. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】 【详解】 试题分析： (1)利用递推关系证得后项与前项做差为2即可证得数列为等差数列，据此可求得数列的通项公式为； (2)结合(1)的