专题19 以三角形为载体的几何综合探究问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题19以三角形为载体的几何综合探究问题 【例1】（2021·北京·中考真题）在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON． （1）①依题意在图1中补全图形； ②求证：CM=BN； （2）猜想线段AM ，BN，ON的数量关系，并证明； （3）当∠BCP=22.5°时，若ON=1，则GN的值为___________．         【答案】（1）①图见解析；②见解析 ；（2）AM＋BN＝ON，证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】 （1）①由题意补全图形，②证明△ACM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性质可得出CM＝BN． （2）连接OC，证明△OCM≌△OBN（SAS），由全等三角形的性质可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MN＝ON，则可得出结论； （3）先求出∠AGM=67.5°，再得到∠MOG =67.5°，故可得到MO=MG，再根据勾股定理求出MN，故可求解． 【详解】 解：（1）①补全图形如图， ②证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴∠ACM＋∠CAM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM＋∠BCN＝90°， ∴∠CAM＝∠BCN， ∵AC＝BC， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴CM＝BN． （2）依题意补全图形如图， 结论：AM＋BN＝OM． 证明：连接OC， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点， ∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°， ∵△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，∠OCM＋∠ACO＝∠CBO＋∠OBN， ∴∠OCM＝∠OBN， ∵CM＝BN， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON， ∵∠COM＋∠MOB＝90°， ∴∠BON＋∠MOB＝90°， ∴∠MON＝90°，△OMN是等腰直角三角形 ∴MN＝ON， ∴AM＝CN＝CM＋MN＝BN＋ON； （3）∵∠BCP=22.5°，△ACM≌△CBN ∴∠CAM=∠BCP=22.5° ∴∠GAM=∠CAB-∠CAM=22.5° ∵AM⊥CP ∴∠AGM=90°-∠GAM=67.5° ∵△OMN是等腰直角三角形 ∴∠OMN=45° ∴∠MOG=180°-∠AGM-∠OMN=67.5° ∴∠MOG=∠AGM    ∴MO=ON=MG=1 ∴MN= ∴GN=MN-MG=． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【例2】（2021·山东济南·中考真题）在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得； （2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得； ②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得, 根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】 （1）如图1， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， 即； （2）①仍然成立，理由如下： 如图2， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即； ②四边形是平行四边形，理由如下： 如图3，过作，连接, 交于点， ，， ， ， ， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】 本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【例3】（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使． （1）当AM与线段BC相交时， ①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　　． ②如图2，当时，写出线段AE，CE