专题18 以函数为载体的新定义与创新型综合探究问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题18以函数为载体的新定义与创新型综合探究问题 【例1】（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值； （3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围． 【例2】（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　 　，s＝　 　，t＝　 　（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由； （3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【例3】（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”． （1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时． ①求c的取值范围； ②求∠EMN的度数； （3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】（2021•江西）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A． 感知特例 （1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表： … B（﹣1，3） O（0，0） C（1，﹣1） A（ 　 　，　 　） D（3，3） … … B'（5，﹣3） O′（4，0） C'（3，1） A′（2，0） D'（1，﹣3） … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'． 形成概念 我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 　 　； ②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　 　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）； ③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值． 1．（2021•中山区一模）定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为． （1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为　 　； （2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为　 　； （3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且． ①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值； ②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于