专题17 二次函数与三角函数综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题17二次函数与三角函数综合问题 【例1】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F． （1）点F的坐标为 　 　； （2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标； （3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t． 【例2】（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标； （3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标． 【例3】（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t． （1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由； （2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）； （3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式． 【例4】（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值． （3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D． ①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值； ②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标． 1．（2021•镇江二模）已知抛物线y＝ax2+bx+10交x轴于点A（﹣10，0）和点B（2，0），其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为（m，﹣3），射线AB沿着直线AC翻折，交l于点F，如图（1）所示． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，EP＝EB且∠BPE＝∠BAF，求证：AB•BE＝PB•AF． （3）在（2）的条件下，直接写出tan∠BAF的值＝　 　；直接写出点P的坐标（ 　 　，　 　）． 2．（2021•慈溪市校级四模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ． （1）求出抛物线的解析式； （2）当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝　 　，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由； （3）延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝时，求点P的坐标． 3．（2021•道里区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交y轴于点A，该抛物线的顶点为B（2，﹣4）． （1）如图（1），求a，b的值； （2）如图（2），过点B作x轴的垂线，点C为垂足，横坐标为t的点P在抛物线上，点P在第四象限且位于BC右侧，连接PA，PC，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接PB，点D与点A关于原点对称，过点D作x轴的平行线与抛物线在第二象限交于点E，点F在第三象限，点G在CB的延长线上，若EF＝PC，∠DEF+∠BCP＝150°，∠DEG﹣∠PFG＝30°，tan∠EGF＝，求点P的坐标． 4．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作CD⊥BA交x轴于点C，交抛物线于点D，连接AD．将线段AB沿线段AD平移得到EF（点E与点A对应、点F与点B对应），连接BF． （1）填空：线段OA＝　 　； （2）若点F恰好落在直线L上，求AF的长； （3）连接DF并延长交抛物线于点Q，若tan∠ADF＝，求点Q的坐标． 5．（20