专题17.1 勾股定理与线段长（重点题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题17.1 勾股定理与线段长 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【思路点拨】 （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【解题过程】 解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH， 在△CHB和△AEF中， ∵， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 1．（2021秋•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（　　） A．5 B．25 C． D．5或 【思路点拨】 分两种情况：当3和4都是直角边时；当4是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 【解题过程】 解：当3和4都是直角边时，第三边长为：； 当4是斜边长时，第三边长为：． 故选：D． 2．（2021秋•苏州期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP＝AC，即可得出答案． 【解题过程】 解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴AC， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP＝AC， ∴点P表示的数是﹣1； 故选：A． 3．（2021秋•莲池区期末）如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC于点E．若BC＝6，则CE＝（　　） A．9﹣3 B．36 C．33 D．31 【思路点拨】 根据题意勾股定理求出AB的长，由AD＝AC得出BD，再根据BE＝BD，即可求出CE的长． 【解题过程】 解：∵BC＝2AC，BC＝6， ∴AC＝3， 由勾股定理得AB3， ∵AC＝AD， ∴BD＝AB﹣AD＝33， ∵BE＝BD， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣（33）＝9﹣3， 故选：A． 4．（2021秋•盐田区校级期末）如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（　　） A． B． C． D．1 【思路点拨】 如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度． 【解题过程】 解：如图，过点C作CD⊥AB于D， 在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB． 由AE•BCAB•CD知，CD． 故选：B． 5．（2021秋•渝中区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（　　） A．72 B．84 C．36 或 84 D．72 或 84 【思路点拨】 由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可． 【解题过程】 解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD15， 分两种情况： ①如图1，当AD在△ABC的内部时， BC＝15+6＝21， 则△ABC的面积BC×AD21×8＝84； ②如图2，当AD在△ABC的外部时， BC＝15﹣6＝9， 则△ABC的面积BC×AD9×8＝36； 综上所述，△ABC的面积为36或84， 故选：C． 6．（2021秋•南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 　 　． 【思路点拨】 过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论． 【解题过程】 解：过A作AD⊥B