专题09 数列求通项问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题09 数列求通项问题 适用类型：已知 解题步骤：（1）当时，的表达式； （2）利用，求出； （3）根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 典例1．（2021秋•黄冈期末）数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n﹣n（n∈N*），则{an}的通项公式为 　an　． 【分析】根据题意，分n＝1与n≥2两种情况讨论数列的通项公式，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，数列{an}中Sn＝2n﹣n（n∈N*）， 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣n﹣2n﹣1+（n﹣1）＝2n﹣1﹣1， 故an； 故答案为：an． 典例2．（2021秋•怀仁市校级期末）已知数列{an}，Sn为{an}的前n项和，Sn＝2an+1+1，，则an＝　　． 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． 【解答】解：由于Sn＝2an+1+1，①， 当n≥2时，Sn+1＝2an+1，n≥2，② ①﹣②得：an＝2an+1﹣2an， 整理得，（n≥2）， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列； 所以． 由于a1＝2an+1，所以， 所以． 故答案为：． 适用类型：型如 解题步骤：（1）依次写出，并将它们累加起来； （2）得到的值，解出； （3）检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 典例1．（2021秋•北海期末）在数列{an}中，a1＝1，，则a2022＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据递推关系式求得an+1﹣an，再利用累加法求解即可． 【解答】解：∵数列{an}中，a1＝1，， ∴an+1﹣an， ∴a2﹣a1＝1， a3﹣a2， .....． an﹣an﹣1， ∴an﹣a1＝1， ∴a2022＝a1+1， 故选：A． 典例2．（2021秋•南关区校级期末）已知数列{an}满足a1＝28，an+1﹣an＝2n，则的最小值为（　　） A． B．41 C． D． 【分析】采用叠加法求出an，由可得，结合对勾函数性质分析在n＝5或6取到最小值，代值运算即可求解． 【解答】解：因为an+1﹣an＝2n，所以an﹣an﹣1＝2（n﹣1），an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣2），⋯，a2﹣a1＝2⋅1， n﹣1式相加可得， 所以，当且仅当 取到， 但，所以n＝5时，， 当n＝6时，，所以的最小值为． 故选：C． 适用类型：型如 解题步骤：（1）依次写出，并将它们累乘起来； （2）得到的值，解出； （3）检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 典例1．在数列中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．则 . 【解析】当n≥2，n∈N*时，an＝1×××…×××＝n， 当n＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为an＝n. 典例2．已知数列{}中，=1，（n，则数列{}的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】, 即．故C正确． 适用类型：型如（其中为常数，且） 解题步骤：（1）假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； （2）由待定系数法，解得； （3）写出数列的通项公式； （4）写出数列通项公式. 典例1．（2021秋•扬州期末）设数列{an}满足：a1＝1，且对任意的n∈N*，都有an+1＝2an+1，Sn为数列{an}的前n项和，则（　　） A．{an}为等比数列 B． C．为等比数列 D． 【分析】由an+1＝2an+1，变形为：an+1+1＝2（an+1），a1+1＝2，利用等比数列的求和公式可得Sn，进而判断出结论． 【解答】解：由an+1＝2an+1，可得：an+1+1＝2（an+1），a1+1＝2， ∴数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2， ∴an+1＝2n，an＝2n﹣1， Sn＝（2+22+……+2n）﹣nn＝2n+1﹣2﹣n． 数列{}为等比数列，首项为，公比为． 故选：BC． 典例2．（2021秋•杨浦区校级期末）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1（n∈N，n≥1），则其通项公式an＝　（3n﹣1）　． 【分析】由an+1＝3an+1得，an+13（an），易判断{an}是等比数列，从而可求得an的表达式，进而可求an． 【解答】解：由an+1＝3an+1得，an+13（an）， 又a11，所以数列{an}各项不为0， 所以数