第13天 数列与集合、函数及三角的交汇问题 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦数列与集合、函数、三角的跨模块交汇，通过典型模拟题训练综合应用能力，体现数学思维的逻辑联系与数学语言的精确表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列与集合交汇|1题（长沙适考）|无穷数列与集合子集求和|等比数列概念与集合运算的逻辑结合| |数列与函数交汇|2题（八省联考）|递推数列与单调性证明|递推关系到等比数列的转化及函数性质应用| |集合与函数创新|3题（广州一模）|T变换函数与集合性质探究|集合元素性质与函数映射关系的概念生成| |数列与三角综合|4题（济南模拟）|三角形列与外接圆应用|几何图形性质与数列递推、三角公式的推导过程|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第13天 数列与集合、函数及三角的交汇问题 1.(1)解　由题意可得an=2n, 因为24+23+21=26,所以集合T={1,3,4}. (2)解　an=2n,设A={t1,t2,…,tk},B={p1,p2,…,pk}, 不妨设t1<t2<…<tk,p1<p2<…<pm,|A|表示集合A中元素个数, 当A={10}时,B=⌀,|A∩B|=0; 当A={9}时,B={9},|A∩B|=1; 由于210=2+2+22+…+29,故t≤9,m≤9, 当|A∩B|≥2,显然找不到满足条件的A,B, 所以A∩B中元素个数的可能值为0或1. (3)证明　设A=A1∪A2∪…∪An,A中最小元素为m, 而am=qm>=ai, 由于最大,故m∈A1, 那么=<==, 由于(1-q)2=1-2q+q2>1-2q, 所以1-q>,即<, 所以<. 2.(1)证明　由an+1=得 ==·+, 则1-=-·=, 所以数列是首项为1-=, 公比为的等比数列. (2)解　由(1)得 1-=×=, 解得:an==. (3)证明　bn==· == ==1-. 令f(n)=3·-2,n∈[1,+∞), 因为f(n)=3·-2在n∈[1,+∞)上单调递增,则f(n)≥f(1)=3×-2=>0, 所以数列在n∈N*上单调递减,从而数列{bn}在n∈N*上单调递增,且bn<1, 故得bn<bn+1<1. 3.解　(1)当函数f(x)=10-x时, f(1)=9,f(2)=8,f(8)=2,f(9)=1, 此时函数f(x)是集合{1,2,8,9}的T变换函数, ∴集合{1,2,8,9}是[1,9]的T子集. (2)函数f(x)=ln在定义域上单调递减, 当n=3时集合A3={a1,a2,a3},其中0<a1<a2<a3, 假设函数f(x)为集合An的T变换函数, 则f(a1)=a3,f(a2)=a2,f(a3)=a1, 即 由①-②,得-=-, 整理后得(-)=-, ∵a1<a2<a3即-≠0,∴=2, 而由①式易得=2+,显然产生矛盾, 即函数f(x)不是集合An的T变换函数. (3)设An={a1,a2,…,an}中an满足首项为1,公比为q(q>1)的等比数列, an=qn-1(q>1),则An={1,q,q2,…,qn-1},满足∈An, 设f(x)=,则对∀i∈[1,n]且i∈Z,f(ai)=∈A,而且i≠j时,≠,及f(ai)有n个不同元素,即能覆盖所有元素. 又∵f(x)=的图象在区间D=[a1,an]上是一段连续曲线, ∴存在函数f(x)=,使得集合An是D=[a1,an]的T子集. 4.(1)解　设△A2B2C2的外接圆半径为r2,由题意知, A1B1==, B2C2=A1B1=, 又A2=θ,故2r2==. 故△A2B2C2的外接圆半径为 r2=. (2)证明　设△AnBnCn的外心为On,外接圆半径为rn,BnCn的中点为Mn,BnCn=ln, 则rn=,AnBn=, ln+1=AnBn=. 注意到An-1Bn-1的中点也为Mn, 故An-1Bn-1的中垂线与BnCn中垂线重合. 由题意知An,On,On-1均在BnCn的中垂线上. 而On-1Mn=An-1Mn·tan =·tan ==, OnMn====, 故OnOn-1=On-1Mn+OnMn=. 另一方面,rn-1-rn=- ===OnOn-1, 故△AnBnCn的外接圆内切于 △An-1Bn-1Cn-1的外接圆. 从而△AnBnCn的外接圆各点位于 △An-1Bn-1Cn-1的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得,△AnBnCn的外接圆位于△A1B1C1外接圆上或其内部. 故△AnBnCn各顶点均在△A1B1C1外接圆上或其内部. (3)解　若满足题意,则A2位于在△A1B1C1外接圆上或其内部,故A2O1≤r1. 由(2)知O1M2=A1M2·tan =·tan =, A2M2==, A2O1=A2M2+O1M2 =. 由题意,A2O1≤r1, 即≤, 解得≤sin ≤1. 故60°≤θ≤90°. 当60°≤θ≤90°,同上可得AnOn-1≤rn-1. 由(2)知An,On,On-1共线,故AnOn+OnOn-1≤rn-1,即rn+OnOn-1≤rn-1. 故OnOn-1≤rn-1-rn,故△AnBnCn的外接圆位于△An-1Bn-1Cn-1外接圆上或其内部. 故△AnBnCn各顶点均在△A1B1C1外接 圆上或其内部,故cos θ的范围为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第13天 数列与集合、函数及三角的交汇问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 解答题(1题13分,2题15分,3题15分,4题17分) 1.(2025·长沙适考)已知无穷数列{an}满足an=qn(q≠0).对于集合T⊆N*,定义ST:若T=⌀,则ST=0;若T={t1,t2,…,tk},则ST=++…+. (1)若q=2,ST=26,求集合T; (2)若q=2,集合A,B⊆N*,且SA+SB=210,求A∩B中元素个数的可能值; (3)若0<q<,集合A1,A2,…,An⊆N*,对任意的i,j∈N*,1≤i<j≤n,满足Ai∩Aj=⌀,且>>…>>0,证明:<. 2.(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列; (2)求{an}的通项公式; (3)令bn=,证明:bn<bn+1<1. 3.(2025·广州一模)已知n∈N*且n≥3,集合An={a1,a2,…,an},其中0<a1<a2<…<an.若存在函数f(x)(f(x)≠x),其图象在区间D=[a1,an]上是一段连续曲线,且{f(ai)|ai∈An}=An,则称f(x)是An的T变换函数,集合An是D的T子集.例如,设A5=,此时函数f(x)=是A5的T变换函数,A5是的T子集. (1)判断集合{1,2,8,9}是否是[1,9]的T子集?说明理由; (2)判断f(x)=ln是否为集合An的T变换函数?说明理由; (3)若ai<aj(i,j∈N*,1≤i<j≤n),则∈An,试问是否存在函数f(x),使得集合An是D=[a1,an]的T子集?若存在,求f(x)的解析式;若不存在,说明理由. 4.(2025·济南模拟)如图,已知给定线段B1C1长为2,以B1C1为底边作顶角为θ(0°<θ≤90°)的等腰三角形A1B1C1,取△A1B1C1的腰A1B1的三等分点B2,C2(B2靠近A1),以B2C2为底边向△A1B1C1外部作顶角为θ的等腰三角形A2B2C2……依次类推,取△An-1Bn-1Cn-1的腰An-1Bn-1的三等分点Bn,Cn(Bn靠近An-1),以BnCn为底边向△An-1Bn-1Cn-1外部作顶角为θ的等腰三角形AnBnCn(n≥2),得到三角形列{△AnBnCn}. (1)用θ表示出△A2B2C2的外接圆半径; (2)当θ=60°时,证明:{△AnBnCn}各顶点均在△A1B1C1外接圆上或其内部; (3)若{△AnBnCn}各顶点均在△A1B1C1外接圆上或其内部,求cos θ的取值范围. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $