专题检测(十)坐标系与参数方程　(Word练习)-2022高考数学(文科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(十)　坐标系与参数方程 1．(2021·四川泸州二模)在平面直角坐标系xOy中，动直线l1：y＝x(k∈R，且k≠0)与动直线l2：y＝－k(x－4)(k∈R，且k≠0)交点P的轨迹为曲线C1.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1的极坐标方程； (2)若曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ＋)－＝0，求曲线C1与曲线C2的交点的极坐标． 解：(1)设直线l1与l2的交点P(x0，y0)， 所以y0＝x0且y0＝－k(x0－4)， 消去参数k得C1的普通方程为x－4x0＋y＝0， 把x0＝ρcos θ，y0＝ρsin θ代入上式得 (ρcos θ)2－4ρcos θ＋(ρsin θ)2＝0， 所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0且ρ≠4)． (2)将ρ＝4cos θ代入ρsin(θ＋)－＝0得 4cos θ(sin θ＋cos θ)－＝0， 所以sin(2θ＋)＝0，则θ＝kπ－(k∈Z)， 即曲线C1与C2交点的极坐标分别为(2，＋2kπ)，(2，＋2kπ)(k∈Z)． 2．(2021·河南新乡二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l：x＋y＝.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程； (2)直线m：θ＝θ0(θ0∈(0，))与曲线C和直线l分别交于A，B(A，B均异于点O)两点，求|OA|·|OB|的取值范围． 解：(1)由参数方程为(α为参数)，得 ∴曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1. 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直线方程得， 直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋2ρsin θ－＝0， 即ρsin(θ＋)＝. (2)∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 直线l的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝， 即ρ＝， ∴|OA|·|OB|＝＝，θ0∈(0，)，则|OA|·|OB|的取值范围为(，)． 3．(2021·安徽淮北二模)在平面直角标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos (θ＋)＝4. (1)写出曲线C1，C2的普通方程； (2)过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值． 解：(1)由得x2＋y2＝()2＋()2＝1， ∴C1的普通方程为x2＋y2＝1， ∴ρcos(θ＋)＝4， ∴ρcos θ－ρsin θ＝4，∴x－y＝4， ∴C2的普通方程为x－y－8＝0. (2)设P到C2的距离为d，圆心O到C2的距离为d′＝＝4，圆半径为1，则d∈[3，5]， ∵PA与C2夹角为，∴|PA|＝＝d， ∴|PA|max＝×5＝， ∴|PA|min＝×3＝2. 4．(2021·四川攀枝花二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数，m∈R)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos (θ－)＝2. (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，点M(0，2)，求＋的值． 解：(1)曲线C的参数方程为消去参数m得y＝2x2，所以曲线C的普通方程为y＝2x2； ∵ρcos(θ－)＝2，∴ρcos θ＋ρsin θ－2＝0， 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0. (2)因M(0，2)，由(1)设直线l的参数方程为(t为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程化简得t2－t－2＝0， 设点P，Q所对的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝，t1t2＝－2显然t1，t2异号， ∴＋＝＝ ＝＝＝. 5．(2021·贵州贵阳二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin θ·tan θ＝4. (1)写出曲线C的直角坐标方程； (2)已知点A(1，0)，直线l与曲线C交于M，N两点，求证：|AM|＋|AN|＝|AM|·|AN|. (1)解：因为ρsin θ·tan θ＝4， 故y·＝4，即y2＝4x(x＞0)． (2)证明：由直线的参数方程可得点A在直线l上， 设M(1＋t1cos α，t1sin α)，N(1＋t2cos α，t2cos α)， 将代入y2＝4x可得：t2sin2α－4tcos α－4＝0， 由题意知t1，t2为此方程的两个不同的解， 故t1＋t2＝，t1t2＝－， 又|AM|＋|AN|＝|t1－t2|＝ ＝＝， |AM|·|AN|＝|t1t2|＝， 所以|AM|＋|AN|＝|AM|