专题检测(三)解三角形　(Word练习)-2022高考数学(文科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(三)　解三角形 1．(2021·安徽淮北二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝bcos C－ccos B. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)若|＋|＝2，且AB＝2，求△ABC的面积． (1)证明：由a＝bcos C－ccos B及余弦定理得a＝b－c＝， 即a2＋c2＝b2，所以B＝，故△ABC是直角三角形． (2)解：取AB的中点D，由|＋|＝2知：||＝，此时BD＝1. 所以BC＝，于是△ABC的面积为. 2．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cos A＝. (1)求A; (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． (1)解：由已知得sin2A＋cos A＝， 即cos2A－cos A＋＝0. 所以(cos A－)2＝0，cos A＝. 由于0<A<π，故A＝. (2)证明：由正弦定理及已知条件可得 sin B－sin C＝sin A. 由(1)知B＋C＝， 所以sin B－sin(－B)＝sin . 即sin B－cos B＝， sin(B－)＝. 由于0<B<，B－＝，故B＝.从而△ABC是直角三角形． 3．(2021·河北张家口二模)在△ABC中，cos B(a－bsin C)＝bsin Bcos C． (1)求B； (2)若c＝2a，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：(1)由cos B(a－bsin C)＝bsin Bcos C， 得acos B－bcos Bsin C＝bsin Bcos C， ∴acos B＝bsin Bcos C＋bcos Bsin C， 即acos B＝bsin(B＋C)， ∴acos B＝bsin A. 由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bsin A， 又sin A≠0，∴cos B＝sin B， 即tan B＝，0＜B＜π，∴B＝. (2)由c＝2a，△ABC的面积为， 得S△ABC＝acsin B＝×a×2a×＝， 解得a＝，即c＝2a＝. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 可得b2＝＋－2×××＝4，解得b＝2. ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝＋2＋＝2＋2. 4．(2021·山东淄博二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos(A－C)＋cos B＝，设m＝(b，c)，n＝(a, b)且m∥n. (1)求角B的大小； (2)延长BC至D，使BD＝5，若△ACD的面积S＝，求AD的长． 解：(1)由cos(A－C)＋cos B＝， 可知cos(A－C)－cos(A＋C)＝， 即cos Acos C＋sin Asin C－cos Acos C＋sin Asin C＝，可得sin Asin C＝. 由m∥n可得b2－ac＝0， 由正弦定理可知sin2 B＝sin Asin C＝， 因为B∈(0，π)，所以sin B＝，因此B＝或. 分别代入cos(A－C)＋cos B＝可知，当B＝时， cos(A－C)＝2，不成立．因此B＝. (2)由B＝可知cos(A－C)＝1，即A＝C， 因此△ABC为等边三角形，即a＝b＝c， S△ACD＝AC·CDsin∠ACD＝b(5－a)sin ＝a(5－a)＝， 整理可得a(5－a)＝4，即a2－5a＝－4， 由余弦定理可知，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝c2＋25－5c＝a2＋25－5a＝21， 因此AD的长为. 5．(2021·广东惠州二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与·＝0. (1)若b＝c，求A的值； (2)求B的最大值． 解：(1)因为·＝0，＝＋，所以(＋)·＝0，又＝－，故可化简为(＋)·＝0，所以bccos A＋b2＝0， 因为b＝c，所以cos A＝－， 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)因为·＝(＋)·＝bccos A＋b2＝0，所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0， cos B＝＝＝＋≥，当且仅当＝，即a＝c时等号成立． 因为0＜B＜π，所以B的最大值为. 6．(2021·吉林松原实验中学二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，△ABC为锐角三角形，且AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°. (1)求sin∠BAC的值； (2)求△BCD的面积． 解：(1)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°， 由正弦定理得sin∠ACB＝＝， 又因为△ABC为锐角三角形，∴cos∠ACB＝. ∵sin∠BAC＝sin ＝sin(60°＋∠ACB)， ∴sin∠BAC＝sin∠ACBcos 60°＋cos∠ACBsin 60°＝×＋×＝. (2)∵AB∥CD，∴∠A